Um die Drehgeschwindigkeit zu definieren, brauchen wir ein wenig Mathematik. Der Umfang eines Kreises ist 2rπ. Wenn man durch den Radius dividiert, bleiben immer 2π über. Bei jedem Kreis! Ein voller Kreisumfang entspricht also einerseits 360° und andererseits 2π. In der Physik gibt man daher den Winkel oft in soundsoviel π an. Das nennt man auch das Bogenmaß (siehe folgende Abb.), das wir im Folgenden verwenden werden. Es hat den Vorteil, dass es sich hier um eine reine Zahl handelt, die Sl-konform ist.
Die Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß erfolgt durch Multiplikation bzw. Division mit dem Faktor `pi/(180°)`, also
Dreht sich eine Scheibe mit der Drehgeschwindigkeit `\omega`, so hat ein Punkt auf der Scheibe eine jeweils andere Bahngeschwindigkeit, je nachdem ob er sich weiter innen oder weiter außen befindet.
Es gilt: `v = (\Delta s)/(\Delta t) = (2 pi* r)/T = (2 pi)/T *r = (2 pi f) *r = \omega * r `
Multipliziert man die Drehgeschwindigkeit `\omega` also mit der Entfernung vom Drehzentrum `r`, dann ergibt sich, wie schnell man bei der Drehung „wirklich“ unterwegs ist.
Ein Tag dauert `24*60*60 s = 86 400 s`, damit ergibt sich für die Drehgeschwindigkeit der Wert:
`\omega = (2 pi)/86400 1/s = 7,27*10^(-5) 1/s`
Multipliziert man dies mit dem Erdradius `r = 6370km` so ergeben sich beachtliche:
`v = \omega*r_E = 7,27*10^(-5) 1/s * 6370000 m \approx 463 m/s \approx 1667 (km)/h` (ca. 1,5-fache Schallgeschwindigkeit!)
Weil der Abstand von der Drehachse abnimmt, je weiter man nach Norden kommt, wird auch die Tangentialgeschwindigkeit kleiner. Für den Abstand zur Drehachse gilt:
r = Erdradius ⋅ cos(geogr. Breite)
Österreich liegt rund am 45° Breitenkreis, und die Tangentialgeschwindigkeit beträgt daher immer noch beachtliche 329 m/s. Das entspricht immerhin auch noch der Schallgeschwindigkeit in der Luft, und mit dieser würdest du auch ins All hinausgeschossen werden
Die Tangentialgeschwindigkeit der Erde nutzt man bei Raketenstarts aus, weil man somit schon eine Startgeschwindigkeit hat, bevor man überhaupt abhebt. Das spart Treibstoff. Man muss aber nach Osten fliegen! Wenn man nach Westen fliegt, startet man quasi mit einer negativen Geschwindigkeit. Je näher man am Äquator ist, desto größer ist natürlich der Effekt. Der Startplatz der NASA ist im Kennedy Space Center in Florida bei etwa 28°, die Raketen der ESA starten in Kourou in Französisch Guyana bei etwa 5°.
Durch die Wirkung einer zu einem Drehzentrum hin gerichteten Kraft wird ein Körper auf eine Kreisbahn gezwungen. Dies für zu einer ständigen Änderung seiner Richtung.
Diese Form der Beschleunigung bezeichnen wir als Zentripetalbeschleunigung.
Aus dem allgemeinen Kraftgesetz `F=m*a` ergibt sich für die Zentripetalkraft (mit Hife der Zentripetalbeschleunigung):
`F_Z = m*v^2/r`
Nach dem 3. Newton'schen Axiom besitzt jetzt Kraft eine gleich große, gelich gerichtete, aber entgegengesetzt orientierte Gegenkraft.
Dies ist hier die Zentrifugalkraft (oder Fliehkraft), sie ist dem Betrag nach natürlich gleich der Zentripetalkraft `F_F = m*v^2/r`.
Wir wissen bereits, dass die Bahngeschwindigkeit `v` am Äquator ca. `463 m/s` beträgt.
Zusammen mit dem Erdradius `r=6,37*10^6 m` können wir damit die Zentrifugalbeschleunigung berechnen:
`a_z=v^2/r= (463 m/s)^2/(6,37*10^6 m) \approx 0,03369 m/s^2`
Im Vergleich mit der Schwerebeschleunigung g ist das recht wenig: `a_z/g \approx 0,34%`
In Newton's „Principia Mathematica“ gibt es eine faszinierende Zeichnung, die zeigt, wie aus der Wurfbewegung ein Wurf „um die Erde“ entsteht. Der „Wurf um die Erde“ ist aber nichts anderes als die Satellitenbewegung.
Freier Fall um die Erde
Freier Fall um die Erde
Wie schnell muss man also einen Körper wegschießen, damit er „um die Erde“ fällt? Diese Geschwindigkeit bezeichnet man als 1. kosmische Geschwindigkeit.
Wir gehen dabei von einer idealen Kugel aus und betrachten das ganze ohne Luftwiderstand.
In jedem Punkt der Bewegung muss die Fliehkraft muss gleich der Gewichtskraft sein, damit ergibt sich:
Vielleicht hast du dir schon einmal die Frage gestellt, wie schnell man einen Ball nach oben schießen muss, dass er ins Weltall hinaus fliegt?
Die Geschwindigkeit, die dazu notwendig ist, bezeichnet man als 2.kosmische Geschwindigkeit.
Um diese Geschwindigkeit zu erhalten, muss die Bewegungsenergie beim Abschuss gleich der Fluchtenergie ( = Energie, die notwendig ist um einen Körper der Masse `m` ins Weltall zu befördern) sein.
Hinweis: beide Energien werden wir im Abschnitt zur Energie herleiten.
Damit eine Satellit auf einem stabilen Orbit die Erde umkreisen kann, muss er eine von der Höhe abhängige Geschwindigkeit `v` haben.
Dies ergibt sich aus der Satellitengleichung, die wir uns herleiten wollen.
Zwei Kräfte bestimmen den Satelliten, die Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft. Diese beiden müssen einander die Waage halten.
(`v` … Geschwindigkeit des Satelliten, `G` … Gravitationskonstante, `R` … Erdradius, `h` … Höhe des Satelliten)
