Matthias fährt nach Hause und möchte immer genau so schnell m (in km/h) fahren, dass er,
wenn er mit dieser Geschwindigkeit konstant weiterfahren würde in m Minuten daheim wäre.
Bsp: Matthias ist 15km von zu Hause entfernt. Er müsste also 30 km/h fahren,
denn mit konstanter Geschwindigkeit würde die Heimfahrt 30 min dauern.
Natürlich muss Matthias immer langsamer werden, damit er diese Regel einhalten kann.
Entfernung von zu Hause km | Geschwindigkeit in km/h |Zeit bis nach Hause in min
(würde man mit konstanter Geschwindigkeit weiterfahren)
60 km | 60 km/h | 60 min
15 km | 30 km/h | 30 min
10 km | 24,49489... km/h | 24,49489 min
1 km | 7,7559.. km/h | 7,74597 min
100 m | 2,44948.. km/h | 2,44948 min
1 m | 0,77459... km/h | 46 Sek.
1 cm | 0,077 km/h | 4,6 Sek.
s km | x km/h | x min
Es gilt offensichtlich s (= v*t) = m*m/60 =m²/60
(m ... Geschwindigkeit in km/h bzw. Zeit in Minuten, s ... Entfernung in km)
Wie muss nun die Funktion s(t) lauten,
wenn man als Ausgangsbeispiel annimmt, dass man zu Beginn (bei t=0) 60km von daheim entfernt ist? Dh. s(0) = 60.
Die Funktion muss streng monoton fallend sein, bis man zu Hause ist.
Gibt es eine Nullstelle, dh. kommt man in endlicher Zeit zu Hause an? Man muss ja immer langsamer fahren...
Nehmen wir an, Matthias ist `15 km` von zu Hause entfernt und fährt konstant `30 (km)/h`, dann braucht er (wie bereits oben ersichtlich) `t = s/v = {15 km} / {30 (km)/h} = 1/2 h = 30 min`.
Die Zeit-Weg-Funktion `s(t) = 15 - 30t` mit `t in [0; 0,5]` beschreibt dann den Weg nach Hause mit konstanter Geschwindigkeit.
Nun soll aber die Geschwindigkeit immer so gewählt werden, dass sie gleich der „Minutengeschwindigkeit“ `m=sqrt(60 s)` ist.
(Diese „Minutengeschwindigkeit“ ergibt sich aus der Umformung von `s = m^2/60` nach `m`.)
Es muss also gelten
`s'(t) = -m` (Das Minus ergibt sich aus der Tatsache, dass „zurückgeradelt“ wird und es sich damit um eine Wegabnahme handelt.)
`s'(t) = -sqrt(60 s)` wobei `s(0)=60` sein soll.
Lösen wir diese Differentialgleichung (durch Trennung der Variablen):
`(ds)/(dt) = -sqrt(60 s) ⇒ (ds)/sqrt(s) = -sqrt(60) dt ⇒ s^(-1/2) ds = -sqrt(60) dt`
Die Integration ergibt:
`\int s^(-1/2) ds = -sqrt(60) \int 1 dt +c ⇒ s^(1/2) / (1/2) = -sqrt(60) * t + c ⇒ sqrt(s) = - sqrt(60)/2* t + c/2 `
Durch Quadrieren erhalten wir:
`s(t) = 60/4 t^2- sqrt(60)* t *c/2 +c^2/4`
Da `s(0) = 60` sein soll, ergibt sich aus `60=c^2/4 ⇒ c= 2*sqrt(60)` und damit:
`s(t) =15 t^2 - 60 t + 60 = 15*(t^2-4t+4)=15*(t-2)^2`
Für die Geschwindigkeit folgt somit `v(t)= s'(t) = 30 t - 60`. Die Geschwindigkeit nimmt also linear ab.
Setzen wir abschließend zur Probe `v` für `m` in die ursprünglich betrachtete Beziehung `s = m^2/2` ein:
`s = (30t-60)^2/60 ⇒ s= (60^2* (t/2-1)^2)/60 ⇒ s= 60*(t^2/4-t+1)=15(t-2)^2 `
Das ist genau die Zeit-Weg-Funktion s(t), die wir hergeleitet haben.
