Mit Hilfe von Proportionen kann man auf relativ einfachem Weg zeigen, wie die Gravitationskraft von der Entfernung abhängt. Auf ähnliche Weise hat das Newton vor über 300 Jahren berechnet.
Wir nehmen vereinfacht an, dass die Planetenbahnen Kreise sind. Für die Kreisbahn ist eine Zentripetalkraft notwendig, die von der Gravitationskraft kommt:
`F_{ZP} = F_G = {m v^2}/r \Rightarrow F_G ~ v^2/r`
Die Geschwindigkeit `v` ist Weg pro Zeit. Bei einem Planeten bietet es sich an, für die Geschwindigkeit den Bahnumfang durch die Umlaufzeit zu nehmen, also
`v = {2 \pi r}/T ~ r/T`
Wenn man oben einsetzt, erhält man
`F_G ~ v^2/r = {r^2/T^2} /r = r/T^2`
Und nun griff Newton auf Keplers 3.Gesetz zurück. Wenn wir eine Kreisbahn annehmen, dann wird aus der großen Halbachse a der Radius r und es gilt:
`T^2 ~ r^3`
Das setzen wir noch einmal ein:
`F_G ~ r/T^2 ~ r/ r^3 = 1/r^2`
Weil man sich außerdem überlegen kann, dass die Gravitation proportional zum Produkt beider Massen ist (siehe F3), ergibt sich als fertige Form:
`F_G ~ {m_1 \cdot m_2}/r^2`
Damit man dazwischen ein „=“ setzen kann, braucht man noch eine Konstante G. Newton konnte diese aus den Kepler'schen Gesetzen berechnen.
`F_G = G \cdot {m_1 \cdot m_2}/r^2`
Die Gravitationskonstante G kann nur im Experiment bestimmt werden. Der genaue Wert konnte erst 1797 von Henry Cavendish ermittelt werden, also mehr als 100 Jahre nach der Entdeckung des Gravitationsgesetzes. Das liegt daran, dass die große Masse der Erde eine so starke Kraft erzeugt, sodass die gegenseitige Anziehung aller Gegenstände praktisch überdeckt wird. Cavendish musste also einen Trick anwenden: Er erfand die Drehwaage.
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Schematische Darstellung zur Bestimmung von G mit Hilfe einer Drehwaage. Der Stab und die Massen liegen auf gleicher Höhe.
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Man bringt zwei größere Massen in die Nähe von zwei kleineren. Diese sind an einem Stab befestigt, der wiederum an einer Schnur hängt (vorhergehende Abb. a). Durch die Gravitation werden die kleinen Massen leicht angezogen, und der Faden verdreht sich ein bisschen (b). Durch die Verdrehung entsteht im Faden eine elastische Kraft. Der Stab kommt zum Stillstand, wenn diese Kraft so groß ist wie die Gravitationskraft zwischen den Massen. Die elastische Kraft kann man sehr genau berechnen und somit auch FG und die Gravitationskonstante G.
Wenn man G exakt kennt, kann man die Masse der Erde bestimmen (F6). Deshalb nahm Cavendish für sich in Anspruch, die Erde „gewogen“ zu haben. Genau genommen bestimmte er aber deren Masse. Wie?
Das Gewicht jedes Körpers ist `F_G = m g` und gibt an, mit welcher Kraft er von der Erde angezogen wird. Diese Anziehungskraft kann man aber auch mit dem Gravitationsgesetz berechnen und daher beide gleichsetzen:
`F_G = m g = G \cdot {m \cdot m_E}/r^2 \Rightarrow {g r^2}/G`
Wenn man nun die bekannten Werte für `g` und `r` einsetzt (`g = 9,81 ms^2`, `r = 6,37\cdot 10^6` m), ergibt sich eine Erdmasse von knapp
`6 \cdot 10^{24}` kg.
Wie groß sind die Gravitationskräfte zwischen Objekten im Alltag (F2)? Wie stark wirst du zum Beispiel von deinem Sitznachbarn angezogen? Rechnen wir in Größenordnungen und nehmen an, dass der Abstand der Körperschwerpunkte 1 m ist und jeder von euch 100 kg hat (ist ja nur eine Schätzung). Die Anziehungskraft ist dann
`F_G = G \cdot {m_1 \cdot m_2}/r^2 = 6,67\cdot 10^{-11} \cdot 10^4 N =10^{-6} N`
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Die Anziehungskräfte zwischen dir und der Erde bzw. dir und deinem Nachbarn. Die Länge der Pfeile ist nicht maßstabsgetreu.
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Die Anziehungskraft zwischen dir und deinem Nachbarn liegt also bloß in der Größe von Millionstel Newton! Gleichzeitig wirst du aber von der Erde mit 1000 N angezogen, also eine Milliarde mal so stark wie von deinem Sitznachbarn
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Ein wirklich großer Halbkugelberg. Der Schwerpunkt liegt auf 3/8 der Höhe.
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Gut, nehmen wir nun etwas wirklich Schweres, zum Beispiel einen großen Berg. Unser Modellberg ist eine Halbkugel mit 10 km (`10^4` m) Radius - und damit wesentlich höher als der Mount Everest (8848 m). Das Volumen einer Halbkugel ist `V= {4r^3 \pi}/6`. Gestein hat eine Dichte von rund `2500 {kg}/m^3`. Dichte ist Masse pro Volumen, Masse daher Dichte mal Volumen:
`m = \rho \cdot V = 2500 {4 \pi (10^4 kg)^3}/6 = 5 \cdot 10^{15} kg
Unser Berg hat also rund 5 Billiarden kg! Nicht schlecht. Wie stark wirst du von ihm angezogen? Wir nehmen an, dass du 100 kg hast und 10 km vom Schwerpunkt entfernt bist (das stimmt nicht ganz, weil der Schwerpunkt nicht in der Basis liegt, aber für eine Schätzung ist die Annahme okay). Für die Anziehung ergibt sich dann:
`F_G = G \cdot {m_1 \cdot m_2}/r^2 = 6,67\cdot 10^{-11} \cdot {10^2 \cdot 5 \cdot 10^{15}}/(10^4)^2 N =10^{-6} N`
Trotz der gigantischen Ausmaße wirst du bloß mit rund `1/3` N vom Berg angezogen! Mit Präzisionsgeräten kann man das natürlich messen. Durch Berge, Täler oder Hohlräume in der Erde verändert sich dadurch auch ein klein wenig die Erdbeschleunigung g. Auf der anderen Seite wirst du aber 3000-mal so stark von der Erde angezogen. Im Alltag spielt also praktisch nur die Gravitation der Erde eine Rolle!
Ein Schwarzes Loch entsteht, wenn ein Stern von einigen Sonnenmassen ausbrennt und in sich zusammenstürzt. Seine Gravitation wird dann so unglaublich groß, dass nicht einmal Licht entweichen kann. Ein Schwarzes Loch ist also eine Art kosmischer Staubsauger. Diese Eigenschaft hat aber nichts mit der Masse alleine zu tun!
Egal ob du dich in der Nähe eines Sterns oder eines Schwarzen Lochs mit gleicher Masse befindest (F7), die Anziehungskraft ist in beiden Fällen gleich groß. Das besagt das Gravitationsgesetz! Was macht dann aber Schwarze Löcher so gefräßig? Die große Dichte bzw. der dadurch sehr kleine Radius.
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Krafterhöhung bei Annäherung an einen Stern bzw. ein Schwarzes Loch mit gleicher Masse.
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Die Anziehungskraft `F_G` ist proportional zu `1/r^2`. Deshalb wächst bei Annäherung an ein Objekt `F_G` sehr rasch an. Dem Stern kannst du dich nur bis Position b nähern (vorhergehende Abb.). An das Schwarze Loch kommst du aber viel näher heran. Du siehst, wie groß die Kraft bei c bereits ist. Knapp vor dem Schwarzen Loch wird `F_G` so gigantisch groß, dass es in diesem Diagramm nicht dargestellt werden kann. Das ist die verheerende Wirkung eines Schwarzen Lochs.
