Überlagerung von Wellen

Um den Zusammenhang zwischen Schwingung und Welle besser zu verstehen, sehen wir uns eine 1-dimensionale transversale Sinuswelle an (grüne Welle in folgender Abb.), die sich nach rechts ausbreitet. Um das grafisch darzustellen, brauchen wir eine zusätzliche Zeitachse. Welche Schwingung beschreibt ein einzelner Punkt, während die Welle an dir vorbeizieht? Um das festzustellen, brauchst du ein Zeit-Weg-Diagramm. Du musst also das Diagramm nach hinten durchschneiden (orange Linie). Es ergibt sich dabei eine Sinusschwingung. Das kannst du an jeder beliebigen Stelle machen. Daraus folgt: Durch die Überlagerung von vielen harmonischen Schwingungen entsteht eine harmonische Welle.

Eine Transversalwelle breitet sich nach rechts aus

Man kann das natürlich auch mathematisch formulieren. Die harmonische Schwingung wird so beschrieben

`y(t) = A \sin (2 \pi f t)`

und eine 1-dimensionale harmonische Welle so:

`y(x,t) = A \sin (2 \pi f ( t - \frac x v) )`

Bei der Schwingung hängt die Auslenkung nur von der Zeit, bei der Welle von Zeit und Ort ab. Der Zusammenhang zwischen Wellenform und Schwingungsform gilt übrigens für alle gleichförmigen Wellen.

Eine Dreieckswelle (grün) wird durch die Überlagerung von Dreiecksschwingungen (orange) erzeugt. Weil für „eckige“ Schwingungen hohe Frequenzen nötig sind, sind auch für eckige Wellen hohe Frequenzen nötig.

Eine der wenigen Ausnahmen vom Superpositionsprinzip sind hohe Wasserwellen. Diese haben generell die Form von umgedrehten Rollkurven (Zykloiden). Darunter versteht man die Bahnen von Punkten auf rollenden Rädern. Je nach deren Lage entstehen dabei mehr oder weniger spitze Bahnen (folgende Abb.). Befindet sich der Punkt außerhalb des Rollradius (das kann z. B. bei Eisenbahnrädern der Fall sein), dann haben die Rollkurve Schleifen (e). Punkte unter dem Rollniveau bewegen sich also tatsächlich gegen die Rollrichtung (F21)!

Wenn du die Abbildung verkehrt ansiehst, dann zeigen a bis d mögliche Formen einer Wasserwelle. Höher als bei d kann die Welle natürlich nicht werden, weil dann müssten die Wasserteilchen einen Looping machen. Wellenhöhe (Kreisdurchmesser) und Wellenlänge (Kreisumfang) verhalten sich wie `1:\pi`(siehe d). Eine Wasserwelle kann also nur rund 1/3 so hoch wie lang werden. Würde sich durch Überlagerung von Wasserwellen eine größere Höhe ergeben, bricht die Welle - das Superpositionsprinzip gilt also nicht mehr.

Beispiele für Rollkurven. Die Zahl gibt die Entfernung des beobachteten Punktes vom Mittelpunkt in Radien an. Eine Zahl größer als 1 ist nur auf Schienen möglich.