Am Europäischen Zentrum für Teilchenphysik CERN befindet sich der größte je gebaute Teilchenbeschleuniger: der LHC, der Large Hadron Collider (folgende Abb.). Zu den Hadronen gehören zum Beispiel Protonen. Im LHC lässt man diese aufeinander prallen und untersucht die dabei neu entstandenen Teilchen. Der ringförmige Tunnel hat einen Radius von 4,3 km. Schätzen wir die benötigte magnetische Induktion ab, um die Protonen auf der Kreisbahn zu halten (F5).
| Der größte Teilchenbeschleuniger der Welt an der Grenze zwischen der Schweiz und Frankreich. |
Wir gehen von der Gleichung der Lorentz-Kraft aus: $F_L = I\cdot s\cdot B$. Für den Strom gilt $I = Q/t$. Jedes Proton bewegt sich in der Zeit t um die Strecke $s = v/t$. Man erhält daher
$I\cdot s = \frac{Q}{t}\cdot v\cdot t = Q\cdot v$
Für die Lorentz-Kraft, die auf ein einzelnes, geladenes Teilchen wirkt, ergibt sich daher $F_L = Q \cdot v \cdot B$. Damit das Teilchen auf einer Kreisbahn bleibt, muss die Lorentz-Kraft als Zentripetalkraft wirken. Man kann diese beiden Kräfte daher gleichsetzen:
$\frac{mv^2}{r}=QvB\Rightarrow B=\frac{mv}{Qr}$
Was muss man jetzt noch beachten? Nach der speziellen Relativitätstheorie erhöht sich die Masse eines Objekts, wenn man Energie zuführt. Das kann man mit der berühmtesten Gleichung der Welt berechnen: Aus $\Delta E=\Delta mc^2$ folgt $\Delta m=\Delta E/c^2$. Den Teilchen im LHC werden beim Beschleunigen `7 \cdot 10^{12}` eV zugeführt, das macht eine Energie von `7 \cdot 10^{12} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}` J = `1,1 \cdot 10^{-6}` J. Für $\Delta m$ ergibt das dann `1,2 \cdot 10^{-23}` kg. Die Protonenmasse (`1,67 \cdot 10^{-27}` kg) hat sich durch die Beschleunigung auf etwa den 7370-fachen Wert erhöht! Sehr beachtlich.
Wenn man für die Endgeschwindigkeit c einsetzt, die die Teilchen ja so gut wie erreichen, erhält man für die benötigte magnetische Induktion 5,4 T. Tatsächlich liegt sie sogar bei 9 T. Das ist deshalb, weil die Bahn keine Kreisbahn ist, sondern eher einem Vieleck gleicht. Durch die Knicke werden etwas stärkere Felder benötigt.