Relativistische Energie

Die dynamische Masse lautet: $m_d=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Nun kann man den Ausdruck $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ mit folgender Reihe annähern: $1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot x^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}x^3+\dots $

Auf $m_d$ angewendet (also wenn man $x$ durch $\frac{v^2}{c^2}$ ersetzt) ergibt sich: c

$m_d=m\cdot (1+\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} + \frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}+\frac{15}{48} \frac{v^6}{c^6}+ \cdots )$

Nun multipliziert man mit $c^2$ und erhält:

$m_d c^2 = m c^2 + m\frac{v^2}{2}+ m \frac{3v^4}{8c^2}+\dots $

$m\cdot c^2$ hat die Einheit einer Energie (überprüfe!). Die Summanden müssen also alle die Einheit einer Energie haben. Wie kann man diese Gleichung interpretieren?

Diese Gleichung stellt die Energiebilanz eines Objekts dar. Links steht die Gesamtenergie. Rechts kommt ab dem zweiten Term die Geschwindigkeit vor. Alle diese Terme sind also der kinetischen Energie ($E_k$) zuzuordnen und sie verschwinden, wenn die Geschwindigkeit null ist. Der erste Term aber bleibt auch bei $v = 0$ über. Selbst ein ruhender Körper hat also überraschender Weise die Energie mc2. Wir nennen diese die Ruheenergie. Daraus kann man ganz allgemein Folgendes ableiten: Wird einem System die Energie A£ zugeführt, so muss sich seine Masse um den Betrag $\Delta m = \Delta E/c^2$ erhöhen.

Man kann die obere Gleichung auch so schreiben:

$m_d c^2 = m c^2 + E_k$

Für die relativistische kinetische Energie folgt dann:

$E_k = m_d c^2 - m c^2 = (m_d - m) c^2$

Wo kommt die Masse her, um scheinbar aus dem Nichts Proton und Antiproton zu erzeugen (F6)? Die Masse war schon vorher da und steckte in der kinetischen Energie der aufeinander zurasenden Elektronen ($m_{de}$). Welche Geschwindigkeit müssen die Elektronen mindestens haben? Wir nehmen die relative Elektronenmasse ($m_e$) mit 1 an. Protonen- und Antiprotonenmasse ($m_p$) sind dann 1836-mal so groß. Für die dynamische Elektronenmasse vor dem Stoß muss also gelten $m_{de} > m_e + 1836 m_e = 1837 m_e$. Daraus folgt:

$m_{de}=1837\cdot m_e = \frac{m_e}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\Rightarrow \frac{v}{c}\geq \sqrt{1-\frac{1}{1837^2}}=0,99999985$

Simulation einer Teilchenkollision. Die heran fliegenden Teilchen verlieren einen Teil ihrer Masse und erzeugen so neue Teilchen.

Wie sehr nimmt die Masse von 1 I Wasser zu, wenn du es von Zimmertemperatur (20 °C) zum Kochen bringst und dabei kein Dampf austritt (F7)? Die Spezifische Wärmekapazität beträgt rund 4200 kJ/kg K . Daher sind $3,4\cdot 10^5$ J nötig. Die Masse nimmt also nur um $3,7 \cdot 10^{-12}$ kg zu.

Diese Alkaline-Batterie (Typ AA) hat laut Hersteller in aufgeladenem Zustand rund 9600 Coulomb und ist dadurch etwa $10^{-13}$ kg schwerer.

Wie viel Masse verliert eine Batterie beim Entleeren? Eine volle Standardbatterie (Abb.) hat rund 9600 Coulomb. Bei 1,5 V entspricht das $E = Q \cdot U = 1,4 \cdot 10^4$ J. Beim Entladen nimmt daher die Masse um lächerliche $1,6 \cdot 10^{-13}$ kg ab. Im Alltag sind Massenänderungen also wirklich nicht zu merken.