Einteilchen-Gasdruck

Wir fangen bei unseren Überlegungen mit einem Gas an, das aus nur einem Teilchen besteht. Es hat die Masse $m$ und fliegt horizontal mit der Geschwindigkeit $v$. Wie groß ist der Druck auf die rechte Wand (Fläche $A$; folgende Abb.)? Druck ist allgemein Kraft pro Fläche. Wir müssen also die durchschnittliche Kraft abschätzen, die das Teilchen auf diese Wand ausübt. (Anm.: Sowohl der Impuls als auch der Druck werden in der Physik mit dem Buchstaben $p$ angegeben. Um Verwirrung zu vermeiden, ist im Folgenden der Impuls immer als Wort ausgeschrieben). Gasvolumen mit nur einem Teilchen

1) Der Impuls des Teilchens vor dem Aufprall ist $+mv$ und nachher $-mv$. Die Impulsänderung des Teilchens ist daher $(-mv)-(+mv) = -2mv$ und die der Wand $+2mv$ (der Gesamtimpuls verändert sich ja nicht). Zur Berechnung des Drucks ist die Impulsänderung der Wand wichtig.

2) Das Teilchen pendelt zwischen den beiden Wänden hin und her. $v = \frac{s}{\Delta t}$ und daher $\Delta t = \frac{s}{v}$. Für einmal Hin und Her benötigte das Teilchen $\Delta t = \frac{2d}{v}$.

3) Kraft ist Impulsänderung pro Zeit. Die Kraft, die auf die Wand wirkt, ist also $F = 2mv \cdot \frac{v}{2d}$. $\frac{m v^2}{2}$ ist die kinetische Energie des Teilchens und somit ist $F= \frac{2 E_{kin}}{d}$.

4) Zum Schluss setzten wir in die allgemeine Druckgleichung ein. Weil $A \cdot d$ das Volumen der Box ist, bekommt man für $p = \frac{F}{A} = \frac{2 E_{kin}}{d\cdot A} = \frac{2 E_{kin}}{V}$.

Du siehst also, dass der Druck auf die rechte Wand einzig und alleine von der kinetischen Energie des Teilchens abhängt! Wie kommt man vom Druck eines Einteilchen-Gases auf den Druck eines Gases mit richtig vielen Teilchen? In einer Box mit 1 dm$^3$ würden sich bei Normaldruck rund $10^{22}$ Teilchen befinden! Mit jedem Teilchen ($N$) erhöht sich die Anzahl der Stöße gegen die Wände und damit auch der Druck. Man muss also die Gleichung mit N multiplizieren. Weil es drei Raumrichtungen gibt, bewegt sich im Schnitt nur jedes dritte Teilchen horizontal, und daher muss man durch 3 dividieren. Man erhält dann für den Druck eines idealen Gases:

$p = \frac{2}{3}\cdot \frac{N}{V}\cdot \bar E_{kin}$