Der Körperschwerpunkt

Untertitel: Ein Stapelproblem

Der Körperschwerpunkt (KSP) ist ein gedachter Punkt, an dem sich die gesamte Masse eines Gegenstandes befindet (Infobox Singularität). Wenn man einen Gegenstand an diesem Punkt unterstützt oder aufhängt, dann befindet er sich im Gleichgewicht, kippt also nicht auf irgendeine Seite. Die Bestimmung des KSP ist bei einem 2-dimensionalen geometrischen Objekt, etwa bei einem Dreieck, relativ einfach. Du musst dazu nur die Schwerelinien schneiden (folgende Abb.). Wenn du deinen Zeigefinger unter eine Schwerelinie legst, dann befindet sich das Dreieck im Gleichgewicht. Der KSP eines unregelmäßigen 2-dimensionalen Gegenstandes lässt sich experimentell bestimmen.

Den Schwerpunkt eines Dreiecks erhält man durch Schneiden der Schwerlinien.

Wann befindet sich eine Wippe im Gleichgewicht? Wenn der gemeinsame KSP von beiden Personen genau über dem Drehpunkt liegt (F3). Ein gemeinsamer Schwerpunkt liegt immer auf einer Linie, die die beiden einzelnen Schwerpunkte verbindet. Aber wo auf dieser Linie? Wenn beide Personen gleich schwer sind, in der Mitte. Wenn die Person rechts halb so viel wiegt, dann muss sie doppelt so weit rausrücken (folgende Abb.), wenn sie ein Drittel wiegt 3-mal so weit und so weiter (siehe auch Kapitel 11.3). Mit dieser Tatsache kannst du das Stapelrätsel lösen (F4).

Gleichgewicht herrscht, wenn der gemeinsame KSP (rot) über dem Drehpunkt liegt (strichlierte Linie).

Wie weit kannst du ein Buch über eine Tischkante schieben? So weit, dass sein KSP genau über der Kante liegt (folgende Abb. a). Noch einen winzigen Hauch weiter, und es würde wegrutschen. Dieses Prinzip gilt auch für den ganzen Buchstapel: Der gemeinsame KSP aller Bücher darf im Extremfall genau über der Kante liegen.

Fang einmal mit zwei Büchern an. Das oberste kannst du eine halbe Länge überstehen lassen. Wie weit kannst du beide gemeinsam schieben? So weit, bis der gemeinsame KSP genau über der Kante liegt. Weil beide Bücher gleich schwer sind, liegt der gemeinsame KSP1+2 genau in der Mitte zwischen den einzelnen Bücherschwerpunkten. Das zweite Buch schaut jetzt noch zusätzlich eine Viertellänge über den Tisch (b).

Wo ist der gemeinsame KSP, wenn du drei Bücher nimmst ©? Denk an die Wippe! Im KSP1+2 ist ja die Masse von 2 Büchern vereint. Der gemeinsame KSP aller drei Bücher teilt also die Linie KSP3 nach KSP1+2 im Verhältnis 2:1. Der zusätzliche Überhang ist nun 1/6. Wenn du jetzt noch ein viertes Buch dazu nimmst, hat das einen Überhang von 1/8. Schon rein optisch siehst du, dass das oberste Buch bei d ganz über der Tischplatte hängt. Wenn du die Überhänge addierst, dann kommst du auf 25/24. Na bitte!

Überhängender Bücherstapel