Die Kepler'schen Gesetze

Eine Ellipse ist im Prinzip ein gestauchter Kreis, a nennt man die große und b die kleine Halbachse. Den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt nennt man Brennstrecke (e). Eine Linie, die du von einem Brennpunkt über die Ellipsenkurve zum anderen Brennpunkt ziehst, hat immer die Länge 2a (folgende Abb.). Der Grenzfall einer Ellipse ist ein Kreis. In diesem Fall ist e null, und die Brennpunkte fallen im Mittelpunkt des Kreises zusammen, a und b sind dann gleich lang und entsprechen dem Radius des Kreises.

Die grüne, rote und blaue Linie haben jeweils eine Länge von 2a.

Dieses Konstruktionsprinzip kannst du selbst ganz einfach nachvollziehen. Du brauchst dazu nur zwei Nadeln fest in eine Unterlage zu stecken. Der Abstand der Nadeln entspricht 2e. An diesen befestigst du eine Schnur, die länger sein muss als der Abstand zwischen den Nadeln. Die Länge der Schnur entspricht 2a. Wenn die Schnur gespannt bleibt, dann kannst du mit einem Bleistift auf diese Weise sehr einfach eine Ellipse zeichnen (folgende Abb.). Für die untere Hälfte musst du einmal absetzen. Experimentiere mit verschiedenen Abständen der Nadeln und mit verschiedenen Fadenlängen!

Einfache Konstruktion einer Ellipse.

Keplers Idee war eigentlich simpel - nur die Berechnungen dazu waren höchst schwierig. Zunächst musste er die Bahn der Erde bestimmen. Aus Beobachtungen wusste man, dass der Mars in 687 Tagen die Sonne umrundet. Kepler peilte den Mars an jenem Tag an (bzw. er benutzte dazu die Daten von Tycho de Brahe), an dem dieser mit Sonne und Erde auf einer Geraden lag. Das nennt man eine Opposition (folgende Abb. a).

Zuerst bestimmte Kepler die Erdbahn, indem er den Mars alle 687 Tage anpeilte.

Die zweite Peilung nahm er 687 Tage später vor. Der Mars befand sich dann wieder an derselben Stelle. Der Winkel zwischen Sonne und Mars betrug dann etwa 91° (vorhergende Abb.). Kepler wandte dieses Verfahren mehrmals hintereinander an und konnte damit die exakte Bahn der Erde bestimmen (b).

Da Kepler nun die genaue Erdbahn kannte, konnte er auch die Marsbahn bestimmen. Er peilte wiederum alle 687 Tage den Mars von der Erde aus an und bestimmte den Winkel (Abb. 12.16). Durch oftmaliges Anwenden dieser Methode von verschiedenen Positionen aus konnte er somit die Marsbahn konstruieren.

Nachdem Kepler die Erdbahn bestimmt hatte, konnte er mit einer ähnlichen Methode die Marsbahn bestimmen.

Unsere Sonne ist nur ein Stern von vielen Milliarden Sternen in unserer Heimatgalaxis. Der Gedanke, dass es irgendwo draußen im Weltall einen erdähnlichen Planeten mit intelligenten Lebewesen gibt, ist schon verdammt faszinierend. 1995 wurde der erste Planet außerhalb des Sonnensystems entdeckt. Man nennt solche Planeten extrasolare Planeten. Bis Anfang 2007 hat man schon über 200 davon entdeckt. Es dürfte aber keiner dabei sein, auf dem Leben möglich ist. Für unsere Fernrohre sind sie praktisch unsichtbar, weil ihre Zentralsterne zu hell leuchten! Wie findet man sie daher? Durch die Bewegung des Zentralsterns (siehe auch diese Abb.).

Extrasolare Planeten kann man mit Hilfe des optischen Dopplereffekts erkennen.

Hat das Sonnensystem nur einen Planeten, dann vollführen sowohl dieser als auch der Stern eine Ellipsenbahn um ihren Gesamtschwerpunkt (vorhergehende Abb.). Diese Bewegung des Sterns kann man mit Hilfe des Doppler-Effekts messen: Wenn sich der Stern von uns entfernt, dann wird sein Licht ein wenig rötlicher, und wenn er sich nähert, etwas bläulicher. Natürlich kann man das nicht mit freiem Auge sehen, man braucht dazu extrem genaue Messgeräte.

Frühling und Sommer haben zusammen 186, Herbst und Winter 179 Tage. Das liegt daran, dass sich die Erde am 3. Jänner am nächsten bei der Sonne befindet (folgende Abb.) und daher eine etwas höhere Umlaufgeschwindigkeit hat. Der Grund für das Zustandekommen der Jahreszeiten kann daher nicht im Abstand zur Sonne liegen. Sonst müsste es ja im Winter am wärmsten sein. Was ist dann aber die Ursache?

Durch die leicht elliptische Bahn der Erde sind die Jahreszeiten nicht gleich lang.

Der Grund liegt darin, dass die Erdachse um 23,5° zur Erdbahn, der Ekliptik, geneigt ist. Im Winter zeigt der Nordpol von der Sonne weg. Auf der Nordhalbkugel sind dadurch erstens die Tage kürzer und zweitens fällt das Sonnenlicht flacher ein. Deshalb ist es im Winter kälter. Der Unterschied im Abstand zur Sonne löst zwar nicht die Jahreszeiten aus, aber er sorgt dafür, dass die Nordwinter etwas milder sind als die Südwinter (F11).

Man kann das 3. Kepler'sche Gesetz auch umformen:

`T_1^2/T_2^2 = a_1^3/a_2^3 \Leftrightarrow a_1^3/T_1^2 = a_2^3/T_2^2 = C`

Die dritte Potenz der großen Halbachsen durch das Quadrat der Umlaufzeit ist für alle die Sonne umkreisenden Objekte eine Konstante. Den Abstand zwischen Erde und Sonne bezeichnet man auch als Astronomische Einheit (AE). Wenn wir für die Umlaufzeit der Erde 1 Jahr einsetzen und für die große Halbachse 1 AE, dann bekommen wir für C den Wert 1. Man kann die Gleichung dann noch vereinfachen: `a^3=T^2`.

Zwischen den Umlaufzeiten und den großen Halbachsen gibt es also in unserem Sonnensystem ein genau definiertes Verhältnis (Abb.). Der Mars hat zum Beispiel eine Umlaufdauer von 687 Tagen oder 1,88 Jahren. Er muss sich daher in einer Entfernung von 1,52 AE von der Sonne befinden (rechne nach). Er hat quasi keine andere Wahl. Hätte er eine andere Entfernung, dann hätte er eine andere Umlaufzeit.

Abstand und Umlaufzeit aller Planeten und von Pluto, dem 2006 der Planetenstatus aberkannt wurde. Die x-Achse ist logarithmisch aufgetragen - von Markierung zu Markierung verzehnfacht sich der Wert. Für jedes beliebige, die Sonne umkreisende Objekt (also auch für Pluto oder Kometen) gilt, dass die Werte für T und a auf dieser Geraden liegen müssen.