Um die nachfolgenden Überlegungen zu verstehen, musst du dir in Erinnerung rufen, dass der Impuls eines Quants $p = h/λ$ ist. Für ein Photon gilt außerdem $c = f\cdot λ$. Man kann daher für dem Impuls auch $p = (h\cdot f)/c$ schreiben. Der Impuls eines Photons ist also proportional zu seiner Frequenz.
Versuchen wir jetzt, ein einzelnes Photon mit einer Wellenfunktion zu beschreiben. Man könnte dazu eine Sinuswelle nehmen, deren Länge genau der Wellenlänge des Photons entspricht. Dann hat man die Frequenz exakt beschrieben. Der Nachteil daran ist, dass nun der Ort völlig unbestimmt ist, denn eine Sinuswelle hat weder Anfang noch Ende.
| Eine einzelne Sinuswelle hat mathematisch gesehen weder Anfang noch Ende. |
Nun gibt es aber einen mathematischen Trick, den man Fourier-Synthese nennt. Dabei überlagert man viele Wellen unterschiedlicher Frequenz und Amplitude und bekommt eine Welle mit endlicher Ausdehnung. Je enger man den Ort eingrenzen möchte, desto mehr Wellen mit unterschiedlicher Frequenz muss man überlagern. Das erhöht natürlich die Frequenz- und somit auch die Impulsunschärfe.
| Durch eine Fourier-Synthese kann man eine Welle erzeugen, die eine endliche Ausdehnung hat. |
Du siehst also das Dilemma! Wenn du die Ortsunschärfe Δx gering halten möchtest, dann vergrößerst du damit die Impulsunschärfe Δp und umgekehrt. Du siehst, dass es sich hier um ein rein mathematisches Problem handelt, da ja keine Messung vorgenommen wird. Die Unscharfe ist eine direkte Folge der Welleneigenschaft!