Das Fermat-Prinzip besagt, dass der Weg des gebrochenen Lichtstrahls der zeitlich kürzeste ist. Aus dieser Tatsache kann man das Brechungsgesetz ableiten.
Die im oberen Medium zurückgelegte Strecke nennen wir $l_1$ die im unteren Medium $l_2$. Die Zeit, die das Licht für den Weg von 1 nach 2 benötigt, ist daher
$t=\frac{l_1}{c_1}+\frac{l_2}{c_2}$ (1)
Wir müssen nun $P_{min}$ ermitteln, bei dem die Zeit $t$ ein Minimum wird, für den also $\frac{dt}{dx} = 0$ gilt:
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{c_1}\ \frac{dl_1}{dx} + \frac{1}{c_2}\ \frac{dl_2}{dx} = 0$. (2)
Die Wege $l_1$, und $l_2$ hängen von $x4 folgendermaßen ab:
$l_1^2=a^2+x^2$ und $l_2^2=b^2+(d-x)^2$ (3).
Nun setzen wir (3) in (2) ein und berechnen die einzelnen Ableitungen:
$\frac{dl_1}{dx} = \frac{d \sqrt{a^2+x^2}}{dx} = \frac{x}{l_1} = sin(\alpha)$.
Jetzt muss man nur noch (4) und (5) in (2) einsetzen und erhält das Brechungsgesetz:
$\frac{\sin(\alpha}{c_1} + \frac{-\sin(\beta}{c_2} = 0 \Rightarrow \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{c_1}{c_2}$
Die Brechzahl $n$ eines Mediums ist als Quotient der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ($c_0$) und in diesem Medium ($c$) definiert, also $n = \frac{c_0}{c}. Daher kann man das Brechungsgesetz auch so formulieren:
$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{\frac{c_0}{n_1}}{\frac{c_0}{n_2}} = \frac{n_2}{n_1} $