Das Gravitationsfeld

Untertitel: Planet X

Die Entdeckung des Gravitationsgesetzes durch Newton lässt sich gar nicht hoch genug einschätzen! Auf einmal waren alle Bewegungen im Sonnensystem auf dieselbe Weise zu erklären. Der Fall des Apfels zu Boden, die Bahnen des Mondes und der Planeten (quasi auch ein freier Fall um einen Zentralkörper), das alles ließ sich mit dem Gravitationsgesetz berechnen. Die Physik war dadurch einfacher und übersichtlicher geworden. Aber wie sehen diese Berechnungen in der Praxis aus?

Nehmen wir mal die Erde. Die Physiker sagen, dass sie ein Gravitationsfeld besitzt. Damit ist gemeint, dass die Gravitationskraft an jedem Punkt in der Umgebung der Erde eine völlig exakt bestimmbare Richtung und Größe hat. (Bedenke: Die Kraft ist ein Vektor.) Meistens zeichnet man in einem Kraftfeld auch die Feldlinien ein (Abb. 13.12). In diesem Fall gehen sie vom Schwerpunkt der Erde aus und geben die Richtung an, in die die Kraft zeigt. Die Dichte der Feldlinien gibt die Stärke der Kraft an. In der Nähe der Erdoberfläche sind sie dichter, und dort ist somit auch die Gravitationskraft stärker. Wie viele Feldlinien hat ein Objekt? Unendlich viele! Wie viel man davon in einer Abbildung einzeichnet, ist Geschmackssache.

Nehmen wir jetzt einen Satelliten, der sich im Gravitationsfeld der Erde bewegt. Die Kepler'schen Gesetze gelten auch in diesem Fall, nur hat die Konstante C beim 3.Gesetz einen anderen Wert (F8). Das liegt daran, dass bei gleicher Umlaufbahn die Umlaufzeit von der Zentralmasse abhängt. Gemeinsam mit der Bewegungsgleichung kann man nun an jedem Punkt die Beschleunigung des Satelliten und somit auch seine exakte Bahn ausrechnen. Man muss dazu nur den Ort und die Startgeschwindigkeit des Objekts kennen.

Der Flächensatz besagt, dass Planeten im Perihel schneller sind als im Aphel! Warum das so sein muss, kann man sich auf mehrere Arten überlegen (F13). Erstens einmal mit der Richtung der Gravitationskraft. Bei einer Kreisbahn wirktdiese ja immer genau normal zur Bewegungsrichtung. Bei einer Ellipse ist das nicht so (folgende Abb.).

Nehmen wir einmal Erde und Sonne und starten wir im Perihel (a). Dort stehen `v` und `F_G` normal, `v` wird also nur gedreht. `F_G` zeigt aber immer zur Sonne. Wenn sich der Planet entfernt, entsteht somit eine bremsende Komponente der Gravitationskraft, die gegen die Flugrichtung zeigt (b). Der Planet wird so lange gebremst, bis er das Aphel © erreicht. Dort stehen `v` und `F_G` wieder normal und seine Geschwindigkeit ist ein Minimum. Wenn sich der Planet der Sonne wieder annähert (d), dann gibt es eine beschleunigende Komponente, bis er wieder das Perihel erreicht und so weiter.

Zweitens kann man den Flächensatz mit Hilfe des Drehimpulses erklären. Und drittens kann man ihn mit Hilfe des Energiesatzes erklären. Erinnere dich: Die Energie in einem abgeschlossenen System ist immer gleich groß. Die um die Sonne kreisende Erde hat einerseits kinetische (`E_k`) und andererseits potenzielle Energie (`E_p`). Der Energiesatz besagt nun, dass die Summe dieser beiden Energieformen immer gleich bleibt, also `E_p + E_k` = konstant. Wenn sich die Erde auf ihrer Bahn der Sonne nähert, dann sinkt `E_p` ab. `E_k` und somit auch die Geschwindigkeit müssen daher höher werden.

Du kannst für die potenzielle Energie aber in diesem Fall nicht die Gleichung `E_p = m g h` verwenden. Warum? Diese Gleichung setzt ja voraus, dass sich g bei der Hebung nicht ändert. Das ist streng genommen zwar nie der Fall, aber auf der Erdoberfläche sind diese Änderungen so gering, dass man sie vernachlässigen kann (siehe nächste Abb.. Trotzdem sollte dir bewusst sein: Diese Gleichung ist nur eine Näherungsgleichung. Es gibt aber eine allgemeine Gleichung, die auch dem sich ändernden g gerecht wird und die man etwa zur Berechnung von Satellitenbahnen benötigt (zur Herleitung der Gleichung siehe F27).