Die Drehmasse

Was bestimmt, wie schwer es ist, einen Gegenstand in Translation zu versetzen? Die Masse! Was bestimmt, wie schwer es ist, einen Gegenstand in Rotation zu versetzen? Die Drehmasse (sie wird auch Trägheitsmoment genannt). Sie hängt nicht nur von der Masse ab, sondern auch davon, wie weit diese von der Drehachse entfernt ist. Je weiter außen, desto schwerer wird es, den Gegenstand in Rotation zu versetzen.

Deshalb rollt der hohle Zylinder langsamer hinunter als der volle, weil seine Drehmasse größer ist (F4). Und deshalb eignet sich auch das rechte Rad besser als Schwungrad (F5). Einmal auf Touren gebracht, ist es schwerer abzubremsen als das linke. Und den Schwung aufrecht zu erhalten ist ja seine Aufgabe (folgende Abb.).

Schon Dornröschen wusste, wie ein Schwungrad aussehen sollte. Das mit dem Fuß angetriebene Spinnrad ermöglicht eine gleichmäßige Drehung.

Jeder Gegenstand hat klarer Weise nur eine Masse. Er kann aber mehrere Drehmassen haben, weil diese ja relativ sind und von der Lage der Drehachse abhängen. Ein Stab ist viel leichter in Rotation um die Längs- als um die Querachse zu bringen (F6; Tabelle). Im ersten Fall liegen die Massenteile wesentlich näher der Drehachse. Mathematisch kann es folgendermaßen definiert werden:

Ist ein Objekt geometrisch, dann kann man es zum Beispiel gedanklich in dünne Zylinder zerlegen und die Drehmasse durch Integration berechnen (b).

Im Prinzip müsste man zur genauen Berechnung der Drehmasse den Gegenstand in viele kleine Teile zerlegen und von jedem Masse und Abstand zur Drehachse bestimmen (folgende Abb. a). Natürlich kann man das in der Praxis nicht machen. Bei geometrischen Gegenständen kann man das Problem durch Integration lösen (folgende Abb. b und vorhergehende Tabelle; Integration lernst du in der 8. Klasse in Mathematik).

Vier Beispiele für durch Integration berechnete Drehmassen bei geometrischen Objekten. Wenn der Stab 77 cm lang ist und einen Radius von 1 cm hat, dann ist es 1000-mal so schwer, ihn in Rotation um die Querachse zu bringen wie um die Längsachse.

Bei nicht-geometrischen Objekten wird die Drehmasse oft im Experiment bestimmt. Wie ist das aber bei komplizierten und beweglichen Körpern wie dem des Menschen? (→ Drehmasse eines Menschen)