Hier gehen wir näherungsweise davon aus, dass die Fallbeschleunigung `g` konstant bleibt.
Die Fallzeit ergibt sich dann aus der Zeit-Weg-Beziehung für den freien Fall:
`h = (g*t^2)/2 ⇒ t = sqrt((2h)/g)` `\quad\quad` (`h` … Fallweg)
Die Aufprallgeschwindigkeit erhält man dann weiters über:
`v = g*t = g*sqrt((2h)/g) = sqrt(2 h g)`
Beispiel: Für einen Fall aus 100 m Höhe (mit g ≈ 9,81 m/s²) ergibt sich t ≈ 4,5s und v ≈ 44,5m/s ≈ 160km/h.
Hier kann g nicht nicht mehr als konstant angenommen werden.
Auftprallgeschwindigkeit
Aus dem Gravitationsgesetz `F= G* (M*m)/r^2` ergibt sich mit der Bewegungsgleichung `m*g=G* (M*m)/r^2`, dass die Erdbeschleunigung gemäß der Funktion `g( r ) =(G*M)/r^2` abnimmt.
Die Fallzeit und zuvor die Endgeschwindigkeit lässt sich nun am einfachsten aus dem Energieerhaltungssatz berechnen:
Die Lageenergie, die beim Heben eines Körpers aus „Erdhöhe“ auf „Mondhöhe“ notwendig ist, wird beim Zurückfallen in Bewegungsenergie umgewandelt:
Lageenergie = Bewegungsenergie
`\int_(r_E)^(r_M) (GMm)/r^2 dr = (m v^2)/2`
`GMm (1/r_E-1/r_M)= (m v^2)/2`
Und damit erhalten wir für die Aufprallgeschwindigkeit
`v = sqrt(2GM(1/r_E-1/r_M) ) = sqrt(2*6,67*10^(-11)*6*10^(24)*(1/6370000-1/384000000) ) \approx 11,12` km/s.
Das stimmt recht gut mit der 2.kosmischen Geschwindigkeit zusammen. Das ist jene Geschwindigkeit, mit der ein Objekt nach oben geworfen werden müsste, dass es das Erdschwerefeld verlassen kann.
Anmerkung : Die Herleitung ist wie oben:
Fluchtenergie = Bewegungsenergie
`\int_(r_E)^∞ (GMm)/r^2 dr = (mv^2)/2`
`(GMm)/r_E = (mv^2)/2`
Daraus folgt für `v = sqrt((2GM)/r_E) \approx` 11,2 km/s
Fallzeit
Wir betrachten dazu die Geschwindigkeitsfunktion `v(h) = - sqrt(2GM(1/h-1/r_M) )`.
Hier ist `v(r_M)=0` und `v(r_E)=v_E` die vorher berechnete Endgeschwindigkeit beim Aufprall auf die Erde.
Das Minus bei der Funktion `v(h)` führen wir ein um anzudeuten, dass sich das Objekt auf die Erde zu bewegt (oben sind wir ja von einem Hebevorgang ausgegangen).
Weiters soll die Zeit beim Loslassen auf „Mondhöhe“ zu laufen beginnen `t(h=r_M)=0` und die Fallzeit `t(h=r_E)=T` beim Aufprall auf der Erde erreicht sein.
Über die Geschwindigkeitsfunktion `v(h) = - sqrt(2GM(1/h-1/r_M) )` können wir nun
mittels `(dh)/(dt) = v(h)` die Fallzeit ermitteln.
Wir formen dazu in der Differentialschreibweise in `dt = (dh)/(v(h) )` um und integrieren:
`T = \int_(t(h=r_M) )^(t(h=r_E) ) dt = \int_0^T dt = \int_(r_M)^(r_E) 1/(-sqrt(2GM(1/h-1/r_M) ) ) dh = \int_(r_E)^(r_M) 1/(sqrt(2GM(1/h-1/r_M) ) ) dh`
Die Integration mit den konkreten Daten (mittels Mathematica) liefert dann:
NIntegrate[1/Sqrt[2* 6.67*10^(-11)*6*10^(24)*(1/h-1/384000000)],{h,6370000,384000000}]
417 414.
Damit beträgt die Fallzeit also T ≈ 417 414s ≈ 4,83 d
Anmerkung 1: Der Luftwiderstand wurde hier nicht berücksichtigt. Dieser ist aber für das tatsächliche Ergebnis von entscheidender Bedeutung, da der Luftwiderstand kleinere Objekte derartig abbremst und dabei so sehr aufheizt, dass sie in der Regel verglühen.
Anmerkung 2: Felix Baumgartner erreichte bei seinem Absprung (am 14.10.2012) aus 39km Höhe 1343 km/h (und war damit schneller als der Schall). Er hält nach wie vor den Geschwindigkeitsrekord, sein Höhenrekord wurde aber (am 24.10.2014) überboten. Alain Eustace (ein ehemaliger Google-Mitarbeiter) ließ sich aus ca.41 km Höhe fallen, er wurde dabei aber nicht so schnell wie Felix Baumgartner.