Zeitliche Darstellung der Schwingung

Stell dir dazu vor, dass sich neben der Feder ein Papierstreifen bewegt, auf dem die Schwingung mit einem Stift aufgezeichnet wird (folgende Abb.n). Am Papier hast du dann ein Diagramm von der zeitlichen Veränderung der Auslenkung. Wir sehen uns das zunächst einmal qualitativ an. Auf die mathematische Beschreibung dieses Diagramms kommen wir im folgenden Kapitel.




Die Schwingung des Federpendels wird auf das sich bewegende Papier aufgezeichnet.




So sieht das Diagramm aus, das die schwingende Masse erzeugt. Es ist ein Weg-Zeit-Diagramm.

 

Schwingungsdauer und Frequenz


Schwingungsdauer eines Fadenpendels (bzw. mathematischen Pendels):
`T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}` d.h. `T~ \sqrt{m}` bzw. `T~ \frac{1}{\sqrt{k}}`
`T` … Dauer für eine Hin- und Herbewegung(= Schwingungsdauer) in s
`m` … Masse an der Feder in kg
`k` … Federkonstante in N/m

Die Gleichung oben stellt einen Zusammenhang zwischen Schwingungsdauer, Masse und Federkonstante her. Die Gleichung sagt dir, wie lang die Schwingung dauert. Sie sagt dir aber nicht, wo sich die Masse zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet. Dazu brauchst du ein Zeit-Weg-Diagramm. Ein solches Diagramm kann man von jeder beliebigen Schwingung erstellen. Das Prinzip lässt sich aber bei einer Schraubenfeder besonders leicht erklären.

 

Massenbestimmung im All-Tag

Hier eine Anwendung eines Federpendels, die gewissermaßen aus dem All-Tag stammt. Wie kann die Astronautin in der Abbildung ihre Masse ohne die Schwerkraft bestimmen? Mit Hilfe einer Federschwingung! Die Astronautin sitzt dazu in einem Sessel, der sich zwischen zwei Schraubenfedern befindet.




Vorrichtung zum Messen der Masse in Schwerelosigkeit. Die Federn befinden sich unter dem Sessel und sind nicht zu sehen.




Modell des schwingenden Sessels. Dieser befindet sich zwischen 2 Schraubenfedern.

Weil in diesem Fall 2 Schraubenfedern beteiligt sind, muss auch `k` mit dem Faktor 2 multipliziert werden, und die Gleichung lautet daher

`T = 2 \pi \sqrt{{m_{Astron.}+m_{Sessel}}/{2k}}`

Wenn man nach `m_{Astronautin}` auflöst, bekommt man

`m_{Astron.}={2kT^2}/{4\pi}-m_{Sessel}`

Beispiel: Die Federkonstanten sind jeweils 300 N/m und die Masse des leeren Sessels 12 kg. Wenn die Astronautin am Sessel eine Schwingungsdauer von 2 Sekunden hat, beträgt ihre Masse knapp 49 kg (rechne nach).