Zusammengesetzte Bewegungen

Fallender Dartpfeil

• Simulation eines horizontalen Wurfes

In x-Richtung bewegt sich der Körper gleichförmig, in y-Richtung gleichmäßig beschleunigt.

Die Bahngleichung y(x) erhälst du durch Elimination von t aus den Bewegungsgleichungen.

Nehmen wir die x-Koordinate des Wegvektors `x =v_0*t`, daraus folgt: `t = x/v_0`. Dies setzen wir in `y = -g/2 t^2` ein und man damit für die Flugbahn die Parabel `y(x)=g/(2*v_0^2)*x^2` .

In x-Richtung bewegt sich der Körper gar nicht, in y-Richtung überlagert sich die gleichförmige Bewegung nach oben mit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach unten.

Im höchsten Punkte der Bewegung ist die Geschwindigkeit für einen Moment gleich Null, damit können wir die Steigzeit berechnen:

`v_0-g*t =0 ⇒ t=v_0/g`

Für die Steigzeit eines Körpers gilt also: `t_S=v_0/g`

Damit können wir wiederum die Steighöhe ermitteln:

`y =v_0*(v_0/g) - g/2* (v_0/g)^2 =v_0^2/g-v_0^2/(2*g) =v_0^2/(2*g)`

Die maximale Steighöhe des Körpers beträgt damit: `y_S=v_0^2/(2*g)`

In x-Richtung bewegt sich er Körper gleichförmig, in y-Richtung gleichmäßig beschleunigt. Wir zerlegen dabei die Ausgangsgeschwindigkeit v0 mit dem Abwurfwinkel α in ihre x- und y-Komponente:

Die Bahngleichung y(x) erhältst du durch Elimination von t aus den Bewegungsgleichungen (aus `x = v_0*cos(α)*t` die Zeit `t` ausrechnen und in `y=v_0*sin(α)*t-g/2*t²)` einsetzen) . Damit ergibt sich als Flugbahn eine Parabel mit `y(x)=tan(α)*x−g/(2*v_0^2* (cos(α))^2)*x^2`

Startet der Wurf in der Anfangshöhe `y_0`, so ergibt sich für die Flugbahn `y(x)=y_0+tan(α)*x−g/(2*v_0^2* (cos(α))^2)*x^2`

Die Wurfweite ergibt sich, wenn man die erste positive Nullstelle der Flugbahn ermittelt: `x_W=(2*v_0^2*sin(2α))/g`

Aus der letzten Beziehung lässt sich auch die Anfangsgeschwindigkeit `v_0` bei vorgegebener Wurfweite `w=x_W` und vorgegebenem Abschusswinkel `\alpha` ermitteln.

Ebenso lässt sich aus der letzten Beziehung der Abschusswinkel `\alpha` ermitteln, wenn die Wurfweite `w=x_W` und die Anfangsgeschwindigkeit `v_0` vorgegeben werden.

Für α = 45° erhält man die größte Wurfweite. Komplimentäre Wurfwinkel liefern gleich Wurfweiten.

Bei Luftwiderstand ist der absteigende Ast steiler.

… aus dem Thriller Speed