Größenordnungen in der Physik

In der Physik kommen manchmal absurd große oder kleine Zahlen vor. Diese haben dermaßen viele Nullen vor oder hinter dem Komma, dass man leicht den Überblick verlieren kann. Nehmen wir als Beispiel die Masse der Erde! Was hast du getippt? Die Masse der Erde beträgt unfassbare 5 973 600 000 000 000 000 000 000 kg. Und der Durchmesser eines Atoms beträgt etwa 0,000 000 000 1 m.
Sehr viele Nullen!

Weitere Beispiele

Eine Auswahl von Größen und Vorsilben, die in Physik und Alltag verwendet werden. Die Tabelle geht in beide Richtungen noch weiter, das ist aber nur für Wissenschaftler bedeutsam. Für den Physikunterricht sind vor allem die fett markierten Einheiten wichtig.

Um den Überblick bei solch extremen Zahlen nicht zu verlieren, hat man beschlossen, diese in Zehnerpotenzen zu schreiben. Die Masse der Erde beträgt demnach $5,9736\cdot 10^{24}$kg oder gerundet $6\cdot 10^{24}$kg und der Durchmesser eines kleinen Atoms $10^{-10}$m. Man kann sich zwar unter dieser Darstellung noch immer nicht wirklich etwas vorstellen, aber du musst zugeben, dass die Schreibweise übersichtlicher ist.

Außerdem hat man sich darauf geeinigt, dass einige der Zehnerpotenzen eine bestimmte Vorsilbe bekommen (vorhergehende Tabelle). Du kennst manche von ihnen aus dem Alltag, Kilometer, Kilogramm und Millimeter, oder vom Computer Mega- und Gigabyte. Weil vor allem in der Astronomie so große Zahlen vorkommen (denk bloß mal an die Masse der Erde), spricht man auch im Alltag von astronomischen Zahlen, wenn man unvorstellbar große Zahlen meint. Wer kann sich schon ein Budgetdefizit von 5 Milliarden Euro vorstellen? Niemand!

Wenn man eine knifflige Berechnung macht (etwa die Eintrittshöhe des Mars Climate Orbiter), dann ist Exaktheit natürlich oberstes Gebot. Du weißt ja, was damals passiert ist! Manchmal will man sich aber bloß einen zahlenmäßigen Überblick verschaffen. Dabei interessiert man sich nur für die Größenordnung, also die Zehnerpotenz, und nicht für die genaue Zahl davor. Dieses Rechnen in Größenordnungen nennt man Abschätzen. Man rundet mal ein bisschen auf, mal ein bisschen ab und kann das daher im Kopf rechnen. Lass also den Rechner in der Schultasche! Wir wollen nur die Größenordnung wissen!

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Zehn_Hoch ist ein Kurzfilm, der eine Reise durch den Mikro-, Meso und Makrokosmos beschreibt.

Wie wandelt man eine Zahl in eine Zehnerpotenz um? Anstelle von 100 schreibt man $1\cdot 10^2$, statt 1000 schreibt man $1\cdot 10^3$, usw. Die Hochzahl (der Exponent) gibt also an, wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben wird. $1,5\cdot 10^3$ ist zum Beispiel 1500.

Diese Schreibweise kann auch bei Zahlen angewendet werden, die kleiner als 1 sind. Ein Zehntel oder 0,1 sind $1\cdot 10^{-1}$, ein Hundertstel oder 0,01 sind $1\cdot 10^2$, ein Millionstel oder 0,000 001 sind $1\cdot 10^5$. Der negative Exponent gibt an, wie viele Stellen das Komma nach links verschoben wird. $1,5\cdot 10^3$ ist zum Beispiel 0,0015.

Bei einer Multiplikation werden die Exponenten addiert:

z.B. $10^5 \cdot 10^2 = 10^{5+2} = 10^7$

Bei einer Division werden die Exponenten subtrahiert:

z.B. $ \frac{10^5}{10^2} = 10^{5-2} = 10^3 $

Wird eine Zehnerpotenz nochmals potenziert, multipliziert man die Exponenten:

z.B. $(10^2)^3 = 10^{2\cdot 3} = 10^6$

Zieht man die Wurzel aus einer Potenz, dividiert man die Exponenten:

z. B. $\sqrt[2]{10^6}=10^{6/2}=10^3$

Größenordnungen für Lichtlaufzeiten

Hier werden wir einmal gemeinsam eine Abschätzung machen, damit du das Prinzip kennen lernst.

Die erste Frage lautet: Wie viele Sekunden hat ein Jahr? Gib zuerst einen Tipp ab! Und jetzt die Abschätzung:

1. Schritt: Wie viele Sekunden hat eine Stunde?
Eine Minute hat 60 Sekunden und eine Stunde hat 60 Minuten, also $60\cdot60$ s = 3600s = $3,6\cdot 10^3$s. Da ist noch nichts gerundet.

2. Schritt: Wie viele Sekunden hat ein Tag?
Ein Tag hat 24 Stunden, also $24\cdot 3,6\cdot 10^3$ s! Und hier runden wir einmal ein bisschen auf und rechnen $25\cdot 4\cdot 10^3$s = $100\cdot 10^3$s = $10^2\cdot 10^3$s=$10^5$s. Ein Tag hat also größenordnungsmäßig $10^5$ oder 100 000 s.

3. Schritt: Wie viele Sekunden hat ein Jahr?
Ein Jahr hat 365 Tage, macht also $3,65\cdot 10^2\cdot 10^5$s oder aufgerundet $4\cdot 10^7$s. Die Sekunden in einem Jahr liegen also in der Größenordnung von einigen Zehnmillionen Sekunden! Was hast du getippt?

Die zweite Frage lautet: Welche Strecke legt das Licht in einem Jahr zurück? Diese Strecke nennt man übrigens ein Lichtjahr (Abkürzung LJ oder ly). Tippe wieder zuerst!

Und jetzt die Abschätzung in Größenordnungen: Die Lichtgeschwindigkeit beträgt etwa $3\cdot 10^8$ m/s. Wir müssen also noch die Geschwindigkeit mit der Zeit multiplizieren.

$4\cdot 10^7$s $\cdot 3\cdot 10^8$m/s = $12\cdot 10^{15}$ m = $10^{16}$m

Das Licht legt also in einem Jahr die unvorstellbare Strecke von etwa $10^{16}$ m zurück. Im Alltag würden wir sagen, das sind 10 Billiarden Meter. Der Gesamt-Fehler bei unserer Abschätzung ohne Taschenrechner ist nur 6%, weil wir zweimal aufgerundet und zum Schluss wieder abgerundet haben. So schätzt man eben in Größenordnungen ab. In der Umgangssprache wird die Einheit Lichtjahr auch gerne fälschlicherweise für lange Zeiten benutzt („… es ist Lichtjahre her, dass …„). Das ist natürlich Quatsch. Wie weit ist übrigens ein LJ aus der Sicht des Universums? Gar nicht weit! Der uns nächste Fixstern, Proxima Centauri, ist bereits 4,2 LJ von der Erde entfernt. Und die nächsten großen Galaxien 'etwa der majestätische Andromedanebel) Dereits ein paar Millionen Lichtjahre!

Der Andromedanebel. Dieser befindet sich in einer Entfernung von etwa 2,5 Millionen Lichtjahren (also etwa `2,5\cdot 10^{22}` m) von unserer Heimatgalaxis. Quelle: NASA

Die Erde besitzt eine Masse von ca. $6\cdot 10^{24}$ kg. Ihre Masse ist aber nicht wirklich konstant.

Unser Heimatplanet wird andauernd von Partikeln aus dem Weltall getroffen, von den winzigen Teilchen des Sonnenwindes bis hin zu Meteoriten. Man schätzt grob, dass pro Jahr allein etwa 40 000 Tonnen Material von Meteoriten auf die Erde niedergehen. Aber die Masse der Erde ist so groß, dass man das davon überhaupt nichts merkt.

Warum? Vergleich einfach die Größenordnungen: Masse der Erde $10^{24}$ kg, Massenzunahme pro Jahr $10^4$ kg. Selbst seit Bestehen der Erde (etwa 4 Milliarden Jahre) hat ihre Masse nur um $10^{14}$ kg zugenommen.

Die Architektur eines PC baut auf dem Dualsystem auf und die Zahlen sind immer Potenzen von 2. Deshalb sind ein Kilobyte nicht 1000, sondern 1024 Byte, also $2^{10}$ Byte. Ein Megabyte sind 1024 Kilobyte und somit $1024^2$ oder 1 048 576 Byte, ein Gigabyte 1 073 741 824 Byte. Wenn man genau ist! Aber über den Daumen kommt man auch damit aus, dass 1 Gigabyte etwa $10^9$ Byte sind. FLOP ist die Abkürzung für „Floating Point Operations per Second“, also Fließkomma-Operationen pro Sekunde. In Teraflops wird also die Rechengeschwindigkeit angegeben. Die Supersuperrechner im Jahr 2004 hatten über 60 Teraflops, also über 60 Billionen Rechenoperationen pro Sekunde.