Die dynamische Masse lautet: $m_d=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Nun kann man den Ausdruck $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ mit folgender Reihe annähern: $1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot x^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}x^3+\dots $
Auf $m_d$ angewendet (also wenn man $x$ durch $\frac{v^2}{c^2}$ ersetzt) ergibt sich: c
$m_d=m\cdot (1+\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} + \frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}+\frac{15}{48} \frac{v^6}{c^6}+ \cdots )$
Nun multipliziert man mit $c^2$ und erhält:
$m_d c^2 = m c^2 + m\frac{v^2}{2}+ m \frac{3v^4}{8c^2}+\dots $
$m\cdot c^2$ hat die Einheit einer Energie (überprüfe!). Die Summanden müssen also alle die Einheit einer Energie haben. Wie kann man diese Gleichung interpretieren?
Diese Gleichung stellt die Energiebilanz eines Objekts dar. Links steht die Gesamtenergie. Rechts kommt ab dem zweiten Term die Geschwindigkeit vor. Alle diese Terme sind also der kinetischen Energie ($E_k$) zuzuordnen und sie verschwinden, wenn die Geschwindigkeit null ist. Der erste Term aber bleibt auch bei $v = 0$ über. Selbst ein ruhender Körper hat also überraschender Weise die Energie mc2. Wir nennen diese die Ruheenergie. Daraus kann man ganz allgemein Folgendes ableiten: Wird einem System die Energie A£ zugeführt, so muss sich seine Masse um den Betrag $\Delta m = \Delta E/c^2$ erhöhen.
Man kann die obere Gleichung auch so schreiben:
$m_d c^2 = m c^2 + E_k$
Für die relativistische kinetische Energie folgt dann:
$E_k = m_d c^2 - m c^2 = (m_d - m) c^2$