Die harmonische Schwingung

Die Königin der Schwingungen ist die harmonische. Das hat zwei Gründe: Erstens kann man ihrer Hilfe viele Probleme aus dem Bereich der Mechanik, aber auch aus anderen Bereichen (z. B. Optik) lösen. Zweitens kann man jede beliebige Schwingung aus harmonischen Schwingungen zusammensetzen.

Beim Federpendel hängt die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude ab. Beim Fadenpendel gilt das auch, aber nur für kleine Auslenkungen. Was ist daher die Antwort auf F13? Es ist egal, von welcher Position die Pendel starten, sie brauchen exakt gleich lang, bis sie durch die Ruhelage schwingen. Man könnte F13 auch so formulieren: Hängt die Schwingungsdauer von der Amplitude ab? Nein (siehe folgende Abb.)!

Die Amplitude und somit auch die Startposition haben keinen Einfluss auf die Schwingungsdauer. Daher braucht auch das Pendel aus den Positionen a bis c gleich lang, um die Ruhelage zu erreichen (F13).

Aber warum ist die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude abhängig? Sehen wir uns das Federpendel an. Die Kraft, die auf das Pendel wirkt, ist proportional zur Auslenkung. Es gilt also das Hook'sche Gesetz. Je weiter du das Pendel auslenkst, desto größer wird auch die Federkraft und desto stärker wird das Pendel zur Ruhelage hin beschleunigt. Das gleicht sich immer genau aus, und deshalb dauert das Zurückschwingen in jedem Fall gleich lange. Auch bei einem Fadenpendel gilt bei kleinen Schwingungsweiten das Hook'sche Gesetz.

Erklärung für das Zustandekommen der Kurve in vorheriger Abb. Je weiter das Federpendel ausgelenkt wird, desto stärker wird die zurücktreibende Kraft.

Immer dann, wenn die zurücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist (wenn also das Hook'sche Gesetz angewendet werden kann), führt ein Pendel eine ganz besondere Schwingung aus, nämlich eine harmonische Schwingung. Diese erzeugt im Zeit-Weg-Diagramm immer eine Sinuskurve.

Vielleicht ist dir aufgefallen, dass bei allen Schwingungsgleichungen der Faktor `2\pi` auftritt. Dieser lässt sich durch die enge Verwandtschaft zwischen der Kreisbahn und der harmonischen Schwingung erklären.

• Animation: Projektion einer Kreisbewegung

Eine harmonische Schwingung ist vor allem mathematisch nicht ganz leicht zu verstehen, aber das Wesentliche ist folgendes: Wenn bei einem beliebigen schwingenden Gegenstand die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist, dann schwingt dieser harmonisch. Das Zeit-Weg-Diagramm ergibt dann eine Sinuskurve. Eine harmonische Schwingung lässt sich auch als Projektion einer Kreisbewegung auffassen.