Zeitveränderungen im Gravitationsfeld

Bezeichnen wir die Frequenzen nicht mit $f$ und $f'$, sondern entsprechend der Abbildung mit $f_A$ und $f_B$. Die Gleichung für die Rotverschiebung lautet daher

$f_B=f_A (1- \frac{g H}{c^2})$

Zwischen der Schwingungsdauer $T$ und der Frequenz $f$ besteht der Zusammenhang $T = 1/f$. Das ergibt also

$\frac{1}{T_B}= \frac{(1-\frac{gH}{c^2})}{T_A}\Rightarrow T_A=T_B(1-\frac{gH}{c^2})$

Daraus folgt $T_A < T_B$. Die untere Uhr geht also langsamer.

Auf die Uhren der GPS-Satelliten wirken zwei gegenläufige Effekte. Die Satelliten bewegen sich relativ zur Erdoberfläche mit 3874 m/s. Im Rahmen der SRT gehen dadurch ihre Uhren langsamer als auf der Erde. Es gilt

$\frac{t_S}{t_E} = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = 9,999\,999\,999\,165 = 1- 0,835\cdot 10^{-10}$

Im Rahmen der ART kommt es zu einem gegenläufigen Effekt. Durch die geringere Gravitation gehen nämlich die Uhren schneller als auf der Erde. Die Satelliten befinden sich $26\,560$ km (= $r_S$) vom Erdmittelpunkt entfernt. Rechnen wir exakt:

Dieser Effekt ist etwa 6-mal so groß wie der der SRT. In Summe gehen die Satellitenuhren um den Faktor $4,45\cdot 10^{-10}$ zu schnell. Nun sind die Techniker auf einen genial einfachen Trick gekommen: Die Satellitenuhren werden von vornherein so eingestellt, dass sie um den oben errechneten Faktor zu langsam gehen. Das gleicht sich genau aus. Konkret werden sie statt auf $10,23$ MHz auf $10,229\,999\,995\,453$ MHz geeicht. Von der Erde aus wirkt es so, also hätten die Satelliten eine Eigenfrequenz von $10,23$ MHz und man muss sich nicht mehr um die Relativitätstheorie kümmern.