Orbitale des Wasserstoffatoms

Grundwelle und drei Oberwellen bei einer schwingenden Saite. Die Saitenlänge muss immer ein ganzzahliges Vielfaches von `\lambda/2` sein.

Eine schwingende Saite ist ein gutes Beispiel für eine eindimensionale stehende Welle. Dabei bleiben Knoten und Bäuche immer an derselben Stelle. Neben der Grundwelle, die nur einen Bauch hat, lassen sich auch Oberwellen erzeugen. In allen Fällen muss aber die Saitenlänge ein Vielfaches von `\lambda/2` sein, weil sich am Rand natürlich immer Knoten befinden müssen. Zweidimensionale stehende Wellen können sich an jeder Membran ausbilden.

Stehende Wellen auf einer kreisförmigen Seifenhaut. Die Schwingungen entsprechen folgenden Orbitalen: a) 1s, b) 2s, c) 3s, d) 2p.

Komplizierte stehende Wellen auf den Trommelfellen einer Pauke. Das aufgestreute Pulver zeigt die Wellenknoten an.

Die griffigsten Beispiele für Potenzialtöpfe gibt es in der Mechanik, zum Beispiel eine Kugel in einer Mulde. Ihre potenzielle Energie ist dort ein Minimum, und um sie zu befreien, musst du Energie aufwenden.

Zwei Beispiele für Potenzial „topfe„, auch wenn der linke wie eine Mulde aussieht. In beiden Fällen ist gleich viel Energie notwendig, die Kugel aus der Energiemulde herauszubekommen.

Bei der elektrischen Kraft gibt es natürlich keine wirklichen Mulden, die du sehen oder angreifen kannst. Trotzdem gibt es Potenzialtöpfe, denn diese bezeichnen ja nicht die Mulden in der Erde, sondern die Mulde der potenziellen Energie (Abb. 27.14).

Potenzialtöpfe, hier als Mulden in der Energie-Ort-Funktion dargestellt, a) Funktion, passend zur Mulde aus obiger Abb. a; b) Potenzialtopf eines Elektrons in der Hülle von Wasserstoff.

Mit Hilfe der de Broglie-Gleichung kann man einer Materiewelle auf Grund ihrer Wellenlänge einen Impuls zuordnen: `p = h/\lambda`. Nun können sich aber im Potenzialtopf nur ganz bestimmte Wellenlängen ausbilden, nämlich immer nur Vielfache von `\lambda/2`. Wenn die Breite des Potenzialtopfs ist, dann gilt `d = {n \lambda}/2` und `\lambda = {2d}/n`. Das setzen wir in die de Broglie-Gleichung ein und erhalten

`p = h/\lambda = p = h/{{2d}/n} = n\cdot h/{2d}`

Nun besteht aber auch ein Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie und dem Impuls:

`E=p^2/{2m} \Leftrightarrow E =({nh}/{2d})^2/{2m} = n^2 \cdot h^2/{8d^2 m} `

Je kürzer die Wellenlänge wird, desto größer wird die Energie des eingesperrten Elektrons. Es gilt: `E~n^2`. Das Elektron kann also nicht beliebige Energien haben, sondern nur ganz bestimmte. Man sagt daher, die Energie des Elektrons ist quantisiert.