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Wovon ist die Anzahl der Zerfälle (dN) eines radioaktiven Stoffes abhängig?
Einerseits von der Teilchenmenge N der Probe: doppelte Menge, doppelt so viele Zerfälle. Andererseits von der Beobachtungszeit dt: doppelte Zeit, doppelt so viele Zerfälle (das gilt nur für kleine Beobachtungszeiträume). Daraus folgt:
`dN ~ N\cdot dt \Rightarrow dN = -\lambda\cdot N\cdot dt \Rightarrow (dN)/N = -\lambda\cdot dt`
Das Einführen der Zerfallskonstanten $\lambda$ ist nötig, um das Gleichheitszeichen setzen zu können. Das Minus drückt die Abnahme der Teilchenzahl aus. Durch Integrieren erhält man (für N > 0)
$\ln(N)= \lambda \cdot t + const$
$N(t) = e^{-\lambda \cdot t + const} \Rightarrow N(t) = e^{const} \cdot e^{-\lambda\cdot t}$
Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat man die ursprünglich vorhandene Teilchenzahl: $N_0 = e^{const} \cdot 1$.
Wenn man das oben einsetzt, erhält man das Zerfallsgesetz:
$N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
Nach der Halbwertszeit $\tau$ ist die Hälfte der Teilchen zerfallen:
`N(\tau) = N_0/2 = N_0\cdot e^{-\lambda \tau} \Rightarrow \tau = \ln(1/2)/{-\lambda} = \ln 2^(-1)/{-\lambda}= \ln 2/\lambda`
Aus dem zu untersuchenden organischen Material wird zunächst der reine Kohlenstoff extrahiert.
Ein Mol hat 12g, 1g somit `(6 \cdot 10^{23})/12 = 5 \cdot 10^{22}` C Atome.
Das ist ein Gemisch aus den Isotopen C-12, C-13 (beide stabil) und dem instabilen Isotop C-14.
In 1g Kohlenstoff befinden sich etwa $6,5 \cdot 10^{10}$ C-14-Atome (das ist der winzige Anteil von `1,3*10^(-12)` !).
Die Halbwertszeit `\tau` von C-14 beträgt 5736 Jahre oder $1,8 \cdot 10^{11}$ s.
Die Zerfallskonstante ist daher `\lambda = \ln 2/ \tau = \ln 2/ (1,8 \cdot 10^{11}) = 3,83 \cdot 10^{12} 1/s`.
Wie viele C-14-Atome zerfallen pro Gramm Kohlenstoff in einer Minute?
$N(60s) = N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t} = 6,5\cdot 10^{10}\cdot e^{-3,83\cdot 10^{-12} \cdot 60}= 6,49999999851 \cdot 10^{10} \Rightarrow N_0 - N(60s) = 14,9$
Pro Gramm Kohlenstoff gibt es in lebenden Organismen 14,9 Zerfälle pro Minute!
Bei Ötzi konnte man pro Gramm Kohlenstoff rund 8 Zerfälle pro Minute feststellen.
In seinem Gewebe sind daher nur mehr `8/(14,9) \approx 0,537= 53,7%` des ursprünglichen C-14-Gehalts vorhanden.
Damit lässt sich die Zeit seit seinem Tod errechnen:
$0,537 = 1- e^{-\lambda\cdot t} \Rightarrow t = \ln(0,537)/{-\lambda} = 1,624\cdot 10^{11} s = 5145 a$
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