Einfache Vektoroperationen

Untertitel: Wolkenbruch und Fahrradboten

Wie werden Vektoren addiert? Du kannst einen Vektor beliebig verschieben, ohne dass sich seine Koordinaten verändern. Du schiebst also einfach an das Ende des ersten Vektors den Anfang des zweiten, und der Summenvektor zeigt dann vom Anfang des ersten Vektors zum Ende des zweiten (Abb. 4.8).

Grafische Addition von parallelen und antiparallelen Vektoren. Der Summenvektor ist rot dargestellt.

Lösen wir F7 grafisch auf (Abb. 4.9). Hier überlagern sich vier Geschwindigkeiten. Zur besseren Übersicht sind die Vektoren untereinander gezeichnet! Die Ameise bewegt sich mit 0,45 m/s relativ zum Boden.

In F7 waren die Vektoren alle parallel, das Probleme also 1-dimensional (wie auch in Abb. 4.8). So richtig Biss bekommt die Methode erst, wenn du dich in mindestens 2 Dimensionen begibst. Das Prinzip bleibt aber immer das gleiche: Vektoren aneinander legen!

Stell dir mal vor, drei Leute ziehen an Schnüren in drei Richtungen, so wie in Abb. 4.11 a. Es handelt sich also diesmal um Kraftvektoren. Die Winkel zwischen den Kräften sind 120°. Wie groß ist die Gesamtkraft? Um das grafisch zu lösen, schiebst du F2 an die Spitze von F1 und F3 an die Spitze von F2 … und dann bist du wieder am Ausgangspunkt angelangt. Was bedeutet das?

Addition von drei 2-dimensionalen Vektoren.

Das bedeutet, dass die Gesamtkraft null ist. We Kräfte in einem System einander die Waage halten (wenn sie sich also aufheben), dann treten keine Bett auf (Kap. 5.3). In diesem Fall bedeutet das, dass keiner der drei Leute es schafft, die anderen wegzuziehen.

Wie ist es mit dem Zeitungsboten (F9)? Auch hier gibt es wieder eine grafische Lösung (Abb. 4.12). Die Darstellung ist ein bisschen anders gewählt, weil die Vektoren mit Hilfslinien zu einem Quadrat ergänzt wurden. Du siehst: Die Geschwindigkeit der Zeitung ist gleich der Diagonale des Quadrats, also etwa 14,1 m/s. Und obwohl der Junge aus seiner Sicht die Zeitung quer zur Fahrtrichtung wegwirft, fliegt diese vom Boden aus gesehen unter 45° nach vorne. Alles eine Frage des Bezugssystems! Er darf die Zeitung also nicht erst auf Höhe der Tür schmeißen, sonst landet sie im Gebüsch.

Diese Art der Darstellung nennt man Vektorparallelogramm. Die Diagonale eines Quadrats ist Seitenlänge mal $\sqrt{2}\approx1,414$.

Wie fallen Regentropfen aus deiner Sicht, wenn du läufst (F10, Abb. 4.13 a)? Es addieren sich wieder zwei Geschwindigkeiten. In Summe kommen die Tropfen dadurch mit 10 m/s schräg von vorne. Deshalb musst du den Schirm kippen.

Wenn du läufst, addieren sich die Geschwindigkeiten. Weil es sich um ein rechtwinkeliges Dreieck handelt, kannst du mit Pythagoras rechnen: $\sqrt{6^2+8^2} =\sqrt{36 +64} = \sqrt{100} = 10$. Eine solche Konstruktion nennt man Vektordreieck.