Die Menge der Vektoren (der Ebene bzw. des Raums) besitzen folgende algebraische Eigenschaften.
V1: Für jedes Paar von Elementen $\vec a$ und $\vec b$ ist die Summe $\vec a + \vec b$ definiert. (Abgeschlossenheit)
V2: $\vec a + \vec b$ = $\vec b + \vec a$ (Kommutativität)
V3: $\vec a + (\vec b +\vec c)$ = $(\vec a + \vec b) + \vec c$ (Assoziativität)
V4: Es existiert $\vec o$ mit $\vec a + \vec o$ = $\vec o + \vec a$ (Nullelement)
V5: Für jedes $\vec a$ existiert $-\vec a$ mit $\vec a + (-\vec a) = \vec o$ (Inverses Element)
V6: Für $t \in \mathbb{R}$ und jedes $\vec a$ ist $t\cdot \vec a$ definiert und wieder ein Vektor.
V7: $t_1 \cdot(t_2 \cdot \vec a) = t_2 \cdot(t_1 \cdot \vec a)$
V8: $(t_1+t_2)\cdot \vec a = t_1 \cdot a + t_2\cdot \vec a$
V9: $t\cdot (\vec a + \vec b)= t\cdot \vec a + t\cdot \vec b$
V10: $1\cdot \vec a = \vec a$
Allgemein nennt man ein System von Elementen $\vec a$, das diese Eigenschaften erfüllt, einen Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen.
Beispiele: Die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Vektoren in der Ebene und im Raum. Die Menge $\mathbb{R}^n$ aller $n$-Tupel $\vec a = (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)$ von reellen Zahlen $a_i$ mit koordinatenweiser Addition und skalarer Multiplikation. Ebenso bildet auch die Menge aller $n\times n$-Matrizen einen Vektorraum.
Die Elemente brauchen aber keineswegs wie Punkte oder Pfeile auszusehen. So bildet die Menge aller Polynome $p(x)= a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\cdots + a_2\cdot x^2+a_1\cdot x + a_0$ mit $a_i\in \mathbb{R}$ ebenfalls einen Vektorraum, wenn man Addition und Multiplikation wie üblich definiert.