Bau dir ein einfaches Pendel aus einem dünnen Faden und einem daran hängenden Gewicht. So etwas nennt man ein Fadenpendel. Führe nun folgende 3 Versuche durch und trage alle Werte in eine Tabelle ein.
|
Einfaches Fadenpendel
|
1) Stoppe für 5 verschiedene Pendellängen die Zeitdauer für je 10 Schwingungen, also für 10 Hin-und Herbewegungen. Lass die anderen Werte (Masse und Auslenkung `alpha`) gleich. Die Pendellänge misst du vom Aufhängepunkt bis zum Körperschwerpunkt (KSP) des Gewichts (siehe Abb.). Zeichne deine beobachteten Werte in ein Diagramm. Um welchen Faktor muss man die Pendellänge vergrößern, damit sich die Pendelzeit verdoppelt?
2) Stoppe die Zeitdauer für 10 Schwingungen für 5 unterschiedliche Startwinkel (`alpha` etwa 5° bis 90°). Verändert sich dabei die Schwingungsdauer?
3) Stoppe die Zeitdauer für 10 Schwingungen für 5 unterschiedliche Massen. Verändert sich dabei die Schwingungsdauer? (Bedenke, dass die Pendellänge vom Aufhängepunkt bis zum KSP gemessen wird und du vielleicht die Fadenlänge beim Ändern der Gewichte ebenfalls etwas ändern musst.)
Fasse nun zusammen, wovon deiner Meinung nach die Pendellänge abhängt. Versuche nun ein Pendel zu bauen, mit dem man eine Sekunde möglichst genau messen kann.
Huygens baute um 1660 die erste gut funktionierende Pendeluhr, die eine Abweichung von nur 10 Sekunden pro Tag hatte. Das war ein ganz wichtiger Schritt in der Genauigkeit der Zeitmessung, denn die bis dahin gängigen Räderuhren hatten eine tägliche Abweichung von etwa 15 Minuten.
Das Prinzip einer Pendeluhr ist einfach. Mit einem Gewicht wird die Uhr aufgezogen. Das Absinken des Gewichts liefert die Energie für die fortlaufende Pendelbewegung. Am oberen Ende des Pendels befindet sich der so genannte Anker (folgende Abb.). Er verhindert, dass das Gewicht sofort hinunterrasselt. Bei jeder Schwingung gibt der Anker das Ankerrad kurz frei (rechts b), und dieses kann sich um einen Zahn weiterdrehen. Dabei schubst es den Anker etwas an und gibt ihm somit immer wieder neuen Schwung. Die Uhr läuft so lange, bis das Gewicht ganz abgesunken ist.
|
Das Prinzip einer Pendeluhr: Das 1-m-Pendel liefert den genauen Takt, das Gewicht liefert die Energie für die fortlaufende Schwingung. Nach 60 „Zähnen“ ist eine Minute vergangen, nach 3600 eine Stunde.
|
Du kannst die Schwingungsdauer jedes beliebigen Objekts berechnen. Du musst dazu allerdings die Drehmasse und den Abstand zwischen Drehpunkt und KSP (`d`) kennen. Die Gleichung für die Schwingungsdauer lautet dann folgendermaßen:
`T = 2 \pi \sqrt{I/{m g \cdot d}}`
Für einen punktförmigen Gegenstand ist die Drehmasse `m d^2`. Wenn du das oben einsetzt, dann bekommst du logischer Weise wieder die Gleichung für das mathematische Pendel (rechne nach). Wie ist es aber, wenn die Masse nicht auf einen Punkt konzentriert ist? Nehmen wir als Beispiel einen schwingenden Stab (Länge = `l`). Dieser hat eine Drehmasse von `{m \cdot l^2}/3` . Der KSP eines solchen Stabs befindet sich in der Mitte, `d` ist daher `l/2`. Das setzen wir oben ein und bekommen
`T = 2 \pi \sqrt{I/{m g \cdot d}} = 2 \pi \sqrt{{m l^2}/{3\cdot m g\cdot l/2}} = 2 \pi \sqrt{{2/3 l}/g}`
Ein Stab von einem Meter Länge hat also dieselbe Schwingungsdauer wie ein mathematisches Pendel mit 2/3 m Länge. Damit können wir das Bummeltempo abschätzen. Wenn du bummelst, dann lässt du das Bein einfach schwingen und spannst die Muskeln praktisch nicht an. Nehmen wir vereinfacht an, dein Bein verhält sich wie ein 1 m langer Stab. Ein Schritt ist eine halbe Schwingung, und die Schwingungsdauer beträgt daher:
`T_{Schritt} = \pi \sqrt{{2/3}/g} = \pi \sqrt{2/{3g}} \approx 0,8 s`
Wenn du das Bein ohne Anstrengung schwingen lässt, dann dauert ein Schritt also 0,8 s. Wenn dein Schritt 0,7 m lang ist, ergibt das eine Geschwindigkeit von v = s/t= 0,7 m/0,8 s = 0,88 m/s oder rund 3 km/h.
|
Ein Bein mit 1 m Länge hat eine Schwingungsdauer wie ein mathematisches Pendel mit 2/3 m Länge.
|
Das Bein eines kleinen Kinds hat bei 1/2 m Länge eine Schwingungsdauer von 0,58 Sekunden. Für das Bummeltempo ergibt das 0,6 m/s rund bzw. 2,2 km/h (rechne nach). Kleine Kinder machen daher schnellere Schritte, kommen aber trotzdem langsamer vorwärts (F4).
