Massenzunahme

Die Tiefe des Lochs im Bezugssystem der Mauer (Abb. ) ergibt sich aus dem Impuls $p = m\cdot w$. (Anm.: Wir nehmen für die Geschwindigkeit ausnahmsweise den Buchstaben $w$, weil wir $v$ für die Relativgeschwindigkeit im Fall b brauchen). Der Impuls der Untertasse aus Sicht eines parallel zur Mauer fliegenden Beobachters ist $p' = m'\cdot w'$ (b). Weil in beiden Fällen das Loch gleich groß ist, muss $p = p'$ gelten.

Aus Sicht des mit $v$ vorbei fliegenden Beobachters (Abb. b) läuft die Crash-Szene langsamer ab. (Anm.: Wir stimmen die Geschwindigkeiten so ab, dass folgendes gilt: $w « v < c$). Wenn die Zeit für die Untertasse langsamer vergeht, sinkt ihre Geschwindigkeit um denselben Faktor. Es gilt also

$w'=w \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Weil das Loch in der Wand und somit die Impulse gleich groß sind, muss die Masse um genau diesen Faktor steigen:

$p = p' = m' \cdot w' = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \cdot w \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Daraus ergibt sich

$m' = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\Rightarrow m'>m$

$m'$ ist die Masse der Untertasse aus Sicht eines zu ihr bewegten Beobachters. Weil die Masse bewegt ist, nennt man $m'$ auch dynamische Masse oder $m_d$.

Anm.: In vielen Büchern wird die dynamische Masse mit $m$ bezeichnet und die Ruhemasse mit $m_0$.

In Teilchenbeschleunigern wird die relativistische Massenzunahme bestens bestätigt. Der größte Beschleuniger der Welt ist der Large Hadron Collider am CERN, dem Europäischen Zentrum für Teilchenphysik. Dort lässt man etwa Protonen aufeinander prallen. Für ihre Kreisbahn ist eine Zentripetalkraft notwendig. Deshalb lässt man die Teilchen durch starke Magnetfelder fliegen, wodurch sie von der Lorentz-Kraft quer zur Flugrichtung abgelenkt werden.

Der größte Teilchenbeschleuniger der Welt befindet sich in 100 m Tiefe an der Grenze zwischen der Schweiz und Frankreich. Er hat einen Umfang von 27 km!

Wir gehen von der Gleichung der Lorentz-Kraft aus: $F_L = I\cdot s\cdot B$ ($B$ ist die magnetische Induktion in Tesla). Für den Strom gilt $I = Q/t$. Jedes Proton bewegt sich in der Zeit $t$ um die Strecke $s = v\cdot t$. Man erhält daher

$F_L = I\cdot s\cdot B = \frac{Q}{t}\cdot v\cdot t\cdot B = Q\cdot v\cdot B$

Damit das Teilchen auf einer Kreisbahn bleibt, muss die Lorentz-Kraft als Zentripetalkraft wirken. Man kann diese beiden Kräfte daher gleichsetzen:

$\frac{m\cdot v^2}{r}= Q\cdot v\cdot B \Rightarrow B = \frac{m\cdot v}{Q\cdot r}\Rightarrow B \sim m$

Die magnetische Induktion B, also die Stärke der Magneten, muss proportional zur Masse sein. Diese wächst aber mit der Geschwindigkeit. Relativistisch betrachtet gilt also $B \sim m_d$. Am LHC ist es möglich, Protonen auf 0,999999991 czu beschleunigen. Dadurch erhöht sich die Protonenmasse etwa um den Faktor 7454! Um diesen Faktor wird auch die Stärke der Magneten erhöht, sonst schaffen die Protonen die Kreisbahn nicht. Das ist eine glänzende Bestätigung für die relativistische Massenzunahme.