Frequenzverschiebung im Gravitationsfeld

Die Energie eines Photons ist $E = h\cdot f$ (h ist das Planck'sche Wirkungsquantum mit $6,67\cdot 10^{-34}$ Js). Die Photonen haben ein Massenäquivalent von $m = \frac{E}{c^2} = \frac{h f}{c^2}$. Zum Aufsteigen im Gravitationsfeld ist eine Hebearbeit notwendig. Die Energie des Photons verringert sich um diesen Wert. Es gilt also dann

$E' = h\cdot f' = h\cdot f- W_H$

Es gibt nun zwei Möglichkeiten, eine Gleichung für die Frequenzänderung abzuleiten. Man kann einmal von einem homogenen Erdschwerefeld ausgehen, in dem sich g während des Aufsteigens nicht ändert. Für die Hebearbeit gilt dann $W_H = m\cdot g\cdot H$. Wenn man oben einsetzt erhält man

$E' = h\cdot f' = h\cdot f- \frac{hf}{c^2} g H $ und $f' = f (1- \frac{g H}{c^2})$

Die andere Möglichkeit ist, eine Gleichung für den allgemeinen Fall aufzustellen, in dem ein Photon im Gravitationsfeld einer beliebigen Zentralmasse $M$ (etwa der Erde oder eines Sterns) aufsteigt. Dann gilt die Gleichung

$W_H = m G M ( \frac{1}{r}-\frac{1}{r_n} )$

Wenn man annimmt, dass das Photon dem Gravitationsfeld entkommt ($r_n = \infty$), vereinfacht sich die Gleichung zu

$W_H = m \frac{GM}{r}$

Daraus folgt

$f'=f (1-\frac{GM}{c^2 r} )$

Schickt man das Licht nach unten, muss man in beiden Gleichungen das Minus durch ein Plus ersetzen.