Die harmonische Schwingung

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Sinus zu erklären. Wir nehmen dazu einen Kreis mit dem Radius 1 (= Einheitskreis). Zeichne nun einen beliebigen Winkel zwischen 0 und `\pi/2` (= 90°) ein (grüne Linie in folgender Abb.). Der Sinus dieses Winkels gibt dir dann die Länge der roten Linie an, also des Lots an dieser Stelle. Bei einem Winkel von `\pi/2` ist die rote Linie so lang wie der Radius. Also ist der Sinus von n gleich 1. Bei einem Winkel von null wird auch die Länge der roten Linie null. Also ist der Sinus von 0 gleich 0. Rechne mit dem Taschenrechner nach (du musst dazu den Taschenrechner auf Radianten einstellen)!

Bei einem Winkel von n/2 wird der Sinus 1 und bei einem Winkel von null wird der Sinus ebenfalls null. Zur besseren Übersicht ist der Winkel etwas kleiner als n/2 (b) bzw. etwas größer als null (c) eingezeichnet.

Mathematisch lässt sich die harmonische Schwingung folgendermaßen beschreiben (es wurde dabei angenommen, dass das Pendel zur Zeit null in der Ruhelage ist):

`y(t) = A\cdot \sin(2\pi t/T)`

`A` ist die Amplitude und `T` die Schwingungsdauer.

Mit dieser Gleichung kannst du ausrechnen, wo sich zu einem beliebigen Zeitpunkt t das schwingende Pendel befindet. Nehmen wir als Beispiel für die Amplitude 1 m und für die Schwingungsdauer eine bzw. zwei Sekunden. Das Zeit-Weg-Diagramm dieser beiden Schwingungen sieht dann wie in folgender Abb. aus. Versuche dieses Diagramm mit einer Tabellenkalkulation nachzumachen.

Ein Kaninchen, das in ein Loch zwischen den Polen fällt, führt eine harmonische Schwingung aus! Warum? Weil innerhalb der Erde die Gravitation linear abfällt (folgende Abb.). Im Erdmittelpunkt ist sie null, weil man dort von allen Seiten gleich stark angezogen wird. Also gilt auch hier das Hook'sche Gesetz, und das Kaninchen pendelt harmonisch wie an einer Spiralfeder.

Innerhalb der Erde fällt die Gravitationskraft linear ab. Für das Kaninchen gelten daher dieselben Voraussetzungen wie für ein Federpendel.

Wie lange braucht das Kaninchen bis zum anderen Pol (F16)? Wenn das Kaninchen und ein Satellit zur selben Zeit am Nordpol starten, dann befinden sie sich immer auf derselben Höhe (folgende Abb.). Das bedeutet, dass das Kaninchen in der Erdmitte mit 7,9 km/s seine höchste Geschwindigkeit erreicht und für eine volle Schwingung 84 Minuten benötigt, also genau so lange, wie der Satellit für eine volle Umrundung. An der Abbildung kannst du sehr schön sehen, dass eine harmonische Schwingung (wie die des Kaninchens) auf die Projektion einer Kreisbahn zurückgeführt werden kann. Daher erklärt sich auch der Faktor 2n in den Schwingungsgleichungen.

Satellit und Kaninchen befinden sich immer auf derselben geografischen Breite.

Wenn du im Dunkeln einen Radfahrer von vorne oder von hinten betrachtest, dann siehst du die Pedalbahn in der Projektion (F17; folgende Abb.). Die Pedale beschreiben dann scheinbar eine harmonische Schwingung, die der Bewegung eines Federpendels entspricht. Eine ganze Umdrehung entspricht einer ganzen Schwingungsperiode.

Die Projektion einer Kreisbahn (a) ergibt eine 1-dimensionale Auf- und Abbewegung (b), die einer harmonischen Schwingung entspricht (siehe auch vorhergende Abb.). Die Bewegung der Pedale (b) und des Pendels © sind daher identisch.