======Zahlensysteme:====== Es gibt drei verschiedene Zahlensysteme: \\ | | | | ^ Dezimalsystem ^ Dualsystem ^ Hexadezimalsystem ^ | 10 Ziffern | 2 Ziffern | 16 Ziffern | | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | 0, 1 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F | | Basis : 10 | Basis : 2 | Basis : 16 | |Stellenwerte: ... 103 102 101 100| Stellenwerte: ... 23 22 21 20| Stellenwerte: ... 163 162 161 160| |Stellenwerte ausgerechnet: ... 1000 100 10 1 | Stellenwert ausgerechnet: ... 8 4 2 1 | Stellenwert ausgerechnet: ... 4096 256 16 1 | | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | | 2 | 1 0 | 2 | | 3 | 1 1 | 3 | | 4 | 1 0 0 | 4 | | 5 | 1 0 1 | 5 | | 6 | 1 1 0 | 6 | | 7 | 1 1 1 | 7 | | 8 | 1 0 0 0 | 8 | | 9 | 1 0 0 1 | 9 | | 1 0 | 1 0 1 0 | A | | 1 1 | 1 0 1 1 | B | | 1 2 | 1 1 0 0 | C | | 1 3 | 1 1 0 1 | D | | 1 4 | 1 1 1 0 | E | | 1 5 | 1 1 1 1 | F | | 1 6 | 1 0 0 0 0 | 1 0 | =====Umrechnen:===== ====Dezimalsystem <-> Dualsystem==== \\ ===Dualzahlen -> Dezimalzahlen === \\ Um Dualzahlen in Dezimalzahlen umzurechnen, multipliziert man die Ziffern mit ihren Stellenwerten und addiert anschließend die Produkte. Die Summe ist die Dezimaldarstellung der Zahl. \\ \\ Beispiel: \\ (101)2= 1*22 + 0*21 + 1*20 = 1*4 + 0*2 + 1*1 = 4 + 0 + 1 = 5 \\ (1101)2 = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20= 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 \\ \\ ===Dezimalzahlen -> Dualzahlen=== \\ Um Dezimalzahlen in Dualzahlen umzurechnen, dividiert man die Zahl durch 2 (Basis) und notiert sich den Rest. Man wiederholt diesen Vorgang dann mit dem Ergebnis so lange, bis der der Quotient 0 ist. Wenn man sich dann Reste in umgekehrter Reihenfolge aufschreibt also derjenige aus der ersten Division ist die niedrigste Stelle, erhält man die Dualdarstellung. \\ Beispiel: \\ 145 : 2 = 72 Rest 1 \\ 72 : 2 = 36 Rest 0 \\ 36 : 2 = 18 Rest 0 \\ 18 : 2 = 9 Rest 0 \\ 9 : 2 = 4 Rest 1 \\ 4 : 2 = 2 Rest 0 \\ 2 : 2 = 1 Rest 0 \\ 1 : 2 = 0 Rest 1 \\ -> 145 = ( 10010001 )2 \\ \\ ====Dezimalzahlen <-> Hexadezimalzahlen==== \\ === Hexadezimalzahlen -> Dezimalzahlen === \\ Um Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen umzurechnen, multipliziert man die Ziffern mit ihren Stellenwerten und addiert anschließend die Produkte. Die Summe ist die Dezimaldarstellung der Zahl. ( Vorgang wie beim Dualsystem ) \\ \\ Beispiel: \\ (AFB)16= A(10) * 256 (162) + F(15) * 16 (161) + B(11) * 1 (160) = 2560 + 240 + 11 = 2811 \\ (C3)16 = C(12) * 16 + 3 * 1 = 192 + 3 = 195 \\ \\ ===Dezimalzahlen -> Hexadezimalzahlen=== \\ Um Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen, dividiert man durch 16 und notiert sich den Rest bis der Quotient 0 ist, dann schreibt man Reste in umgekehrter Reihenfolge auf und erhält die Hexadezimalzahl. ( Vorgang wie beim Dualsystem ) Nun muss man noch beachten, dass 10 zu A wird und 11 zu B usw. \\ \\ Beispiel: \\ 200 : 16 = 12 Rest 8 \\ 12 : 16 = 0 Rest 12 -> C \\ -> 200 = ( C8 )16 \\ \\ 255 : 16 = 15 Rest 15 -> F \\ 15 : 16 = 0 Rest 15 -> F \\ -> 255 = ( FF )16 \\ \\ ====Dualzahlen <-> Hexadezimalzahlen==== \\ ===Dualzahlen -> Hexadezimalzahlen=== \\ Um Dualzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechen, fasst man 4 Stellen zusammen und rechnet sie in eine Dezimalzahl um. Bei Ergebnisse die größer als 9 sind, in Buchstaben umwandeln. Die Ergebnisse in derselben Reihenfolge wie die Viererpacks hintereinanderhängen. Wenn keine 4 Stellen vorhanden sind, auf 4 Stellen ergänzen. ( 11 0110 -> 0011 0110 ) \\ \\ Beispiel: \\ ( 1101 1001 )2 -> ( 1101 )2 = 1 * 8 + 1 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 13 = D ; ( 1001 )2 = 1 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 9 -> ( 1101 1001 )2 = ( D9 )16 \\ \\ ===Hexadezimalzahlen -> Dualzahlen=== \\ Beim Umrechnen von Hexadezimalzahlen in Dualzahlen, fasst man jede einzelne Stelle als Dezimalzahl auf und wandelt sie in eine Dualzahl um. Bei Zahlen die kleiner als 8 sind, werden vorne so viele Nullen anghängt, dass man auf 4 Stellen kammt. Diese Viererpacks werden wieder in der ursprünglichen Reihenfolge zusammen gefügt. \\ \\ Beispiel: \\ ( A6 )16 -> A = 10 = 1 * 8 ( 2 3 ) + 1 * 2 ( 21 ) = ( 1010 )2 ; 6 = 1 * 4 ( 22 ) + 1 * 2 ( 21 ) = ( 0110 )2 -> ( A6 )16 = ( 1010 0110 )2 \\ \\ =====Grundrechenarten im Dualsystem===== \\ ====Addition:==== \\ | + ^ 0 ^ 1 ^ ^ 0 | 0 | 1 | ^ 1 | 1 | 10 | \\ Das bedeuted : \\ 0 + 0 = 0 \\ 0 + 1 = 1 \\ 1 + 0 = 1 \\ 1 + 1 = 10 ( weil es keine 2 im Dualsystem gibt, nimmt man die nächst höhere Zahl ) \\ \\ Das Addieren funktioniert wie im Dezimalsystem, nur das man ein anderes 1 plus 1 verwenden muss. Ist ein Teilergebnis größer als 1 wird die letzte Stelle angeschrieben und der Rest wird zum Übertrag. \\ \\ Beispiel: \\ 1101 + 1111 = 11100 \\ 13 + 15 = 28 \\ \\ ====Subtraktion:==== \\ | --- ^ 0 ^ 1 ^ ^ 0 | 0 | 1 | ^ 1 | 1 und 1 Ü | 0 | \\ Das bedeuted: \\ 0 -- 0 = 0 \\ 10 -- 1 = 1 \\ 1 -- 0 = 1 \\ 1 -- 1 = 0 \\ \\ Eine Rechenmaschine kann nur addieren, das genügt. Alle anderen Grundrechenarten lassen sich auf die Addition zurückführen. \\ Ein rechner verwendet Zahlen, bei denen die erste Stelle das Vorzeichen angibt ( 0 = + ; 1 = - ). Die restlichen Ziffern bilden die eigentliche zahl. Negative Zahlen sind die richtigen Komplemente ihrer positiven Brüder ( Zahl aus invertierten Ziffern + 1 ). Um also eine Subtraktion durchzuführen bildet man aus dem Subtrahenden das Zweierkomplement und addiert dann Minuend und subtrahend wobei beim Ergebnis Ziffern, die die Bit Zahl des Rechners übersteigen einfach weggelassen werden. \\ \\ Beispiel: \\ 0111 -- 0110 = 0111 + 1001 + 1 = 1 0001 \\ \\ ====Multiplikation:==== \\ | * ^ 0 ^ 1 ^ ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ ^ 1 ^ 0 ^ 1 ^ \\ Funktioniert wie im Dezimalsystem, sogar mit demselben allerdings gekürzten 1 mal 1. \\ \\ Beispiel: \\ 1101 * 101 \\ --- --- --- --- --- \\ 1101 \\ .0000 \\ ..1101 \\ --- --- --- --- \\ 1000001 \\ \\ 13 * 5 \\ --- --- --- --- \\ 65 \\ \\ ====Division:==== \\ Funktioniert wie im Dezimalsystem \\ \\ Beispiel: \\ 1010 : 101 = 10 \\ 0000 \\ ...0R. \\ \\ 10001 : 101 = 11 \\ 00111 \\ ..010R. \\ \\ Eine Division lässt sich auf eine Subtraktion (und damit letztendlich auf eine Addition ) zurückführen. \\ \\ \\ ======Schaltalgebra====== \\ =====Was versteht man unter Schaltalgebra?===== Unter Schaltalgebra versteht man die Rückführung elektronischer Schaltnetze auf eine mathemathischen Beschreibung und die Verknüpfung von Einzelaussagen zu einer Gesamtaussage.\\ Die Ziffern 0 und 1 werden in der Schaltalgebra physikalischen Zuständen zugeordnet: \\ * O - Strom fließt nicht * 1 - Strom fließt \\ 0 und 1 werden in der Informatik mit Bit bezeichnet. Ein Bit stellt die kleinste Informationseinheit dar ( nur 2 Zustände - 0 und 1 ) \\ \\ 1 Bit -> 21 Möglichkeiten \\ 2 Bitt -> 00, 01, 10, 11 -> 22 Möglichkeiten \\ 3 Bitt -> 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, 000 -> 23 Möglichkeiten \\ 8 Bit = 1 Byte => 28=256 Möglichkeiten 1 KB (Kilobyte) = 210 = 1024 Byte 1 MB (Megabyte) = 210 KB = 210 x 210 Byte = 220 Byte = 1048576 Byte 1 GB (Gigabyte) = 230 Byte 1 TB (Terrabyte) = 240 Byte \\ \\ =====Welche Schaltungen unterscheidet man und wie werden sie dargestellt?===== * **Man unterscheidet 3 verschiedene Verknüpfungen:** - UND-Verknüpfung (AND-Verknüpfung): \\ Darstellung: {{:inf:inf5bi_201112:und.jpg|}} - ODER-Verknüpfung (OR-Verknüpfung): \\ Darstellung: {{:inf:inf5bi_201112:oder.jpg|}} - NICHT-Verknüpfung (NOT-Verknüpfung) * **Man unterscheidet 6 verschiedene Schaltungen:** - Parallelschaltung (OR - Gatter) - Serienshcaltung (AND - Gatter) - Not-Schaltung (Negation) - NOR-Schaltung (NOT OR - Gatter) - NAND - Schaltung (NOT - AND - Gatter) - XOR - Schaltung (Exclusive - Oder - Schaltung) =====Warum ist Schaltalgebra überhaupt notwendig?===== \\ Die Schaltalgebra ist ein Hilfsmittel zur mathematischen Beschreibung logischer Funktionen. Mit ihrern Regeln und Gesetzen können Gleichungen umgeformt, vereinfacht und so Schaltungen optimal realisiert werden. \\ Die Schaltalgebra verknüpft die Variablen (Schaltvariablen), die nur die beiden möglichen Zustände »1« oder »0« annehmen können, nach logischen Regeln. \\ \\ ====== Quellen: ====== * [[http://www.oszkim.de/materi/edemi/schaltalgebra.html#oben|Schaltalgebra]] * [[http://books.google.at/books?id=rU9pktqK4dsC&pg=PA525&lpg=PA525&dq=Schaltalgebra+allgemeines&source=bl&ots=hFWn-kxPrC&sig=Uu-yvRgb6MioDUJXu9M6__yCXOk&hl=de&ei=XEfbToOzC5KyhAezwKysAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDYQ6AEwAg#v=onepage&q=Schaltalgebra%20allgemeines&f=false|Handbuch der Elektronik]] * Der Brockhaus multimedial