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====== Zerfallsgesetz und Altersbestimmung ======

===== Zerfallsgesetz =====

Wovon ist die Anzahl der Zerfälle (dN) eines radioaktiven Stoffes abhängig? 

Einerseits von der Teilchenmenge N der Probe: doppelte Menge, doppelt so viele Zerfälle. Andererseits von der Beobachtungszeit dt: doppelte Zeit, doppelt so viele Zerfälle (das gilt nur für kleine Beobachtungszeiträume). 
Daraus folgt:

`dN ~ N\cdot dt \Rightarrow dN = -\lambda\cdot N\cdot dt \Rightarrow (dN)/N = -\lambda\cdot dt`

Das Einführen der **Zerfallskonstanten** $\lambda$ ist nötig, um das Gleichheitszeichen setzen zu können. Das Minus drückt die Abnahme der Teilchenzahl aus. Durch Integrieren erhält man (für N > 0)

$\ln(N)= \lambda \cdot t + const$

$N(t) = e^{-\lambda \cdot t + const} \Rightarrow N(t) = e^{const} \cdot e^{-\lambda\cdot t}$

Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat man die ursprünglich vorhandene Teilchenzahl: $N_0 = e^{const} \cdot 1$. \\
Wenn man das oben einsetzt, erhält man das Zerfallsgesetz:

$N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$

Nach der **Halbwertszeit** $\tau$ ist die Hälfte der Teilchen zerfallen:

`N(\tau) = N_0/2 = N_0\cdot e^{-\lambda \tau} \Rightarrow \tau = \ln(1/2)/{-\lambda} = \ln 2^(-1)/{-\lambda}= \ln 2/\lambda`

\\ \\ 

===== Wie alt ist Ötzi? =====

Aus dem zu untersuchenden organischen Material wird zunächst der **reine Kohlenstoff** extrahiert.\\
Ein Mol hat 12g, 1g somit `(6 \cdot 10^{23})/12 = 5 \cdot 10^{22}` C Atome.\\
Das ist ein Gemisch aus den Isotopen C-12, C-13 (beide stabil) und dem instabilen Isotop C-14.\\ 
In 1g Kohlenstoff befinden sich etwa $6,5 \cdot 10^{10}$ C-14-Atome (das ist der winzige Anteil von `1,3*10^(-12)` !).

Die **Halbwertszeit `\tau` von C-14** beträgt **5736 Jahre** oder $1,8 \cdot 10^{11}$ s.\\
Die Zerfallskonstante ist daher `\lambda = \ln 2/ \tau  = \ln 2/ (1,8 \cdot 10^{11}) = 3,83 \cdot 10^{12}  1/s`.\\

Wie viele C-14-Atome zerfallen pro Gramm Kohlenstoff in einer Minute?

$N(60s) = N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t} = 6,5\cdot 10^{10}\cdot e^{-3,83\cdot 10^{-12} \cdot 60}= 
6,49999999851 \cdot 10^{10} \Rightarrow N_0 - N(60s) = 14,9$

Pro Gramm Kohlenstoff gibt es in lebenden Organismen 14,9 Zerfälle pro Minute!

Bei Ötzi konnte man pro Gramm Kohlenstoff rund 8 Zerfälle pro Minute feststellen.\\
In seinem Gewebe sind daher nur mehr `8/(14,9) \approx 0,537= 53,7%` des ursprünglichen C-14-Gehalts vorhanden.\\ Damit lässt sich die Zeit seit seinem Tod errechnen:

$0,537 = 1- e^{-\lambda\cdot t} => t = \ln(0,537)/{-\lambda} =  1,624\cdot 10^{11} s = 5145 a$

Links:
  * [[https://www.leifiphysik.de/kern-teilchenphysik/anwendungen-der-kernphysik/aufgabe/alter-von-oetzi|Alter von Ötzi nur über Prozentsatz]]
  * [[wpde>Ötzi]]
  * [[https://www.youtube.com/watch?v=XEZOiwtd178|Dokumentation]] (ZDF)
  * [[https://www.youtube.com/watch?v=Tapal0oB9zc|Der Mann aus dem Eis]] (Trailer)